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CHAPITRE XII. 



APPLICATIONS DU THÉORÈME D'ABEL A LA GÉOMÉTRIE (i). 



Etude des groupes de points obtenus en coupant une courbe algébrique donnée 

 par d'autres courbes algébriques. — Applications aux cubiques et aux quartiques. 

 — Tangentes doubles des quartiques; coniques quadruplement tangentes. — 

 Application du théorème d'Abel aux aires, aux angles et aux arcs des courbes 

 de direction. — Biquadratiques gauches. 



226. Le théorème d'Abel, appliqué à la Géométrie, donne des 

 résultats qui se présentent sous une forme intuitive des plus 

 simples. En nous bornant presque exclusivement aux courbes du 

 troisième et du quatrième ordre, nous indiquons sur des exemples 

 précis les idées essentielles de la théorie. Nous commencerons 

 par les courbes du troisième ordre. 



Il existe deux espèces de courbes du troisième ordre : i*^ celles 

 qui n'ont pas de point singulier; 2° celles qui ont un point 

 double ou de rebroussement. 



Si la courbe du troisième ordre F(x^y) =^ o n'a pas de point 

 singulier, elle est du genre un. L'intégrale 



I F' 



»^(Xn, Vn) y 



est alors de première espèce. A chaque point (^,y) de la courbe 

 correspondent une infinité de valeurs de u qui se déduisent de 

 Tune d'elles par l'addition ou la soustraction de deux périodes w 

 et to^ A chaque valeur de u ne correspond qu'un point (^,jk) de 



(') Ouvrages à consulter : Mémoires de Clebsch {Journal de Crelle, t. LXIII, 

 LXIV); — Leçons de Géométrie de Clebsch, par Lindemann; — Mémoire de 

 M. Humbert {Journal de Mathématiques, 4" série, t. III; 1887). 



