APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GEOMETRIE. 489 



la courbe, comme il résulte du problème de Tinversion : les coor- 

 données ^ et ^ de ce point sont des fonctions elliptiques de u, aux 

 périodes w et to'. 

 Une droite 



<1^(^> J') = aa; -f- py + Y = o 



coupe la courbe en trois points : soit u^, iio-, Us un système de 

 valeurs de ii correspondant respectivement à ces trois points ; on 

 a, en vertu du théorème d'Abel appliqué aux intégrales de pre- 

 mière espèce, 



(i) Ml -h w.2-f- W3 = P H- n 0) -4- n'oi', 



P étant une constante indépendante de la droite considérée et n 

 et n' des entiers positifs, négatifs ou nuls. 



Cette relation nécessaire entre les paramètres de trois points en 

 ligne droite est suffisante. En effet, prenons sur la courbe trois 

 points Ml, M2, M3 dont les paramètres u vérifient la relation (i). 

 La droite qui joint les deux points M2 et M3 coupe la courbe en 

 un point M'^ de paramètre ii\ ; il faut montrer que M'^ coïncide 

 avec Ml. Les points M^, M2, M3 étant en ligne droite, on a 



u[ H- ^2 -I- W3 = P -h m o) + m' co' ; 



en comparant avec (i), on voit que Ui et u\ ne diffèrent que par 

 des multiples des périodes w et w^ : les deux points Mi et M^ sont 

 donc confondus. On prouve, par un raisonnement identique, que la 

 condition nécessaire et suffisante pour que six points de la cu- 

 bique soient sur une conique est que les valeurs de w, relatives à 

 ces six points, vérifient une relation de la forme 



(2) M, 4- M2-T- . . . + "6= 2P H- nco -h /l'co', 



OÙ la constante est 2P, comme on le voit en supposant la conique 

 décomposée en deux droites. 



Gomme application de ces relations, cherchons d'abord les 

 points d'inflexion. Si u est le paramètre d'un point d'inflexion, la 

 tangente d'inflexion coupe en trois points confondus avec celui-là ; 

 il faudra donc faire dans (i), à des multiples près des périodes, 



Ml — U2= 113= u; 



