490 • CHAPITRE XII. 



d'où 



P nw-f-n'w' 



u=^ + — r — 



Dans cette formule, on peut donner à n et n' toutes les valeurs 

 entières ; mais deux valeurs de u qui diffèrent par des multiples 

 de iù et co' donnent le même point d'inflexion. Il suffît donc de 

 donner à n et n' les valeurs o, i et 2, associées de toutes les ma- 

 nières possibles. On trouve ainsi neuf ipoïnls d'inflexion dont les 

 paramètres sont donnés par le Tableau suivant, où Ufi^n' désigne 

 la valeur de u correspondant à un choix déterminé des entiers n 

 et n' : 



_ P _ p + w' 



î^o.o — "^r ' Uq i — — 5 Wo,2 



5 'ci 



P + w P 



10 -H W 



^1,0 — ô ' ■ ^^1,1 — ô ' ^^li2 — 



Pn-aw P + 2to + to' 



^2,0= ô ' ^2,1=— ô ' ^^2,2 = 



Ces points sont trois à trois en ligne droite ; la droite qui joint 

 deux quelconques d'entre eux passe par un troisième; on a, par 

 exemple, 



. ^0,0 -t- i^I,! + ^2,2 = P + W H- w', 



ce qui prouve que les points correspondants sont en ligne droite. 

 Gomme autre application, on pourra chercher les points où la 

 conique osculatrice a un contact du cinquième ordre ^ c'est-à-dire 

 coupe en six points confondus ; les valeurs de u correspondantes 

 sont données par 



U = f 



OÙ n et n' peuvent prendre toutes les valeurs de o à 5, ce qui 

 donne 6^= 36 points. On trouve parmi ces points les neuf points 

 d'inflexion qu'on obtiendrait en considérant les tangentes d'in- 

 flexion comme des droites doubles, puis 



62 _ 32 = 2-7 



points de contact de véritables coniques surosculatrices. Ces 

 points sont six par six sur des coniques. 



