APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 49I 



Si l'on coupe la cubique par une courbe Q= o d'ordre s supé- 

 rieur ou égal à 3, il y a 3s points d'intersection sur lesquels 3 5 — i 

 peuvent être choisis arbitrairemeht, le dernier étant alors bien 

 déterminé. En effet, l'équation Cs=^o contient d'une façon linéaire 



et homogène -^ -^ — — — - coefficients arbitraires 5 on ne change 



évidemment pas le système des points d'intersection avec la 

 cubique F(x, y) = o en remplaçant la courbe Cs= o par 



C;^G,-F(^,jK)G,_3 = o, 



C,_3 étant un polynôme de degré s — 3. Comme ce dernier poly- 



( s — 2)(5 — l) m ' !• 



nome contient — coeilicients arbitraires, on peut 



disposer de ces coefficients de façon à faire disparaître autant de 

 termes dans C^ : il ne restera alors dans Q que 



(s -{-i)(s -^ 1) (s — l)(s — l)_^ 

 1 1 



coefficients arbitraires entrant d'une façon linéaire et homogène. 

 On pourra disposer de ces coefficients de manière que la courbe 

 C',=r o passe par 3 5 — i points pris arbitrairement sur F = o; le 

 dernier point d'intersection sera ensuite entièrement déterminé. 

 Il existe donc une relation et une seule entre les valeurs w,, 

 ;/o, . . . , z^3^ du paramètre u correspondant aux 35 points d'inter- 

 section. Cette relation est fournie sous forme nécessaire et suffi- 

 sante par le théorème d'Abel : elle est 



où la constante est 5P, comme on le voit en supposant la courbe 

 sécante décomposée en s droites. 



227. Supposons maintenant que la cubique ait un point singu- 

 lier : prenons ce point pour origine d'un système d'axes xOy. 

 L'équation de la courbe peut s'écrire 



— j désignant un polynôme du troisième degré en — 



