49^ CHAPITRE XII. 



constante positive, négative ou nulle. En posant y = tx, on a 

 immédiatement 



La courbe étant de genre zéro, il n'y a pas d'intégrale de pre- 

 mière espèce correspondant à la relation 



F(rr, jK) = o. 



Supposons a différent de zéro, ce qui exclut le cas du rebroiis- 

 sement, et considérons l'intégrale abélienne 



^(^;7) = — 2a / ■=• 



dx r'^^' dx 



(a:o,ro) y 



(■^0, yè 



-^^f'iS) 



iy 



D'après le n° 144, c'est là une intégrale de troisième espèce 

 admettant comme points singuliers logarithmiques les deux points 

 de la courbe superposés au point double. C'est ce qu'on vérifie 

 immédiatement en faisant, dans l'intégrale th, y = tx^ puis rem- 

 plaçant X par sa valeur (3); on trouve ainsi 



, . r ladt , t 



a tQ-\- a. 



cette intégrale a un seul module de périodicité lui. 



Il faut actuellement distinguer deux cas, suivant que l'on coupe 

 la ligne par une courbe ne passant pas par le point double ou 

 passant par ce point. Nous supposerons d'abord que la courbe 

 sécante ne passe pas par le point singulier. Une droite quelconque 



^{x,y)^ux^vy-\-w = o 



rencontre la courbe en trois points [x^^y,^)^ {^21 y^)^ (-^ajJKs) 

 correspondant aux valeurs ^<, ^2, ^3 de t. On a vu (n° 185) que, 

 si 7îj(^, y) est une intégrale de troisième espèce aux points singu- 

 liers (a, b) et (a', b')^ la quantité 



Ha, h) 



^(^1, 7i) + ^(^2, 72) + ^(^3, yz) — lo 



t|;(a', b') 



