APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GEOMETRIE. 403 



est indépendante de la droite considérée, c'est-à-dire de u^ p, w. 

 Comme actuellement les deux points (a, b) et {a\ b') sont placés 

 au point double a = o, b = o et a'=z o, b' = o, le logarithme est 

 nul et l'on a 



r^i^i, yi) -^ rn{x2, y^_) -h vj{xs, y:i) = G, 



G étant une constante indépendante de u^ v, w et déterminée à 

 des multiples de ^izi près. D'après la valeur (4) de nj(^, y), cette 

 relation s'écrit enfin 



(5) log- -^-log- - + log-- =K-f-2/i7:i, 



tj — a lo — oc [3 — a 



où K désigne une nouvelle constante indépendante de ii, p, (v el /i 

 un entier positif, négatif ou nul. Cette relation, facile à établir 

 par une voie algébrique, donne la condition nécessaire et suffi- 

 sante pour que les trois points /,, /o, ^3 soient en ligne droite. 



On verra de même, en prenant pour 6 (^,j') le premier membre 

 de l'équaùon d'une conique, que les six valeurs de t correspon- 

 dant aux points d'intersection de la courbe et d'une conique sont 

 liées par la relation 



(6) log- -+-log- -h...-f-log- =iK-^inTUy 



t\ — a «2 — ^ '6 — ^ 



où la première constante du second membre est évidemment le 

 double de K, car la relation (6) doit être vérifiée encore dans le 

 cas où la conique est décomposée en deux droites. 



Pour avoir les points d'inflexion il suffit de supposer, dans (5), 

 que ^,, t., et ^3 aient une valeur commune ^; on a ainsi 



, ^ , t -r- CL K -\- ITlT.i 



(7) ^og = , 



ce qui donne trois points d'inflexion en ligne droite, correspon- 

 dant aux valeurs o. i et 2 de /i, comme on le voit en résolvant (7) 



par rapport a y- 



On écrira sous la même forme la condition nécessaire et suffi- 

 sante pour que 3 s points de la cubique soient sur une courbe C^ =^ o 



