494 CHAPITRE XII. 



d'ordre s ne passant pas par le point singulier : cette relation est 



(8) \^ log-^ =sK-{- 271111. 



Nous avons supposé a différent de o : si a était nul, l'origine 

 serait un point de rebroussement, l'intégrale appelée TTj(x,y) 

 deviendrait une intégrale de seconde espèce infinie en ce point et 

 les relations (5) et (6) devraient être remplacées par les sui- 

 vantes, comme on pourra le vérifier, 



-4---I- - = G, 



t\. t=i ^3 



II I ^ 



Les théorèmes suivants doivent être modifiés en conséquence. 



Examinons maintenant le cas où la courbe sécante passerait par 

 le point double. La relation précédente (8) devient illusoire, car, 

 deux des points d'intersection étant confondus avec le point 

 double, une des Zs valeurs de t est a et l'autre — a : de sorte qu'il 

 y a dans la relation deux termes infinis de signes contraires. Dans 

 ce cas il n^ existe plus aucune relation entre les 35 — 2 autres 

 points où la courbe Q coupe la cubique. Ainsi on peut toujours 

 faire passer une conique par quatre points pris arbitrairement 

 sur la cubique et par le point double. 



En général, on peut toujours faire passer une courbe d'ordre s 

 par Zs — 2 points pris sur la courbe et par le point double, car 

 cela ne fait que 3 5 — i équations de condition et, d'après le raison- 

 nement de la page 491 5 ^^ dispose de 3^ , paramètres entrant 

 d'une façoQ linéaire et homogène. 



Le même fait a lieu si le point double devient un point de 

 rebroussement. 



228. Courbes du quatrième ordre sans points doubles (genre 

 trois). — Soit 



(9) F(^,JK) = 



l'équation d'une courbe du quatrième ordre sans points singuliers. 



