APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GEOMETRIE. 495 



Il résiille des formules générales que cette courbe est du genre 3. 

 L'intégrale la plus générale de première espèce est 



/ 



F' 



dx 



avec trois constantes arbitraires a, p, v. Nous appellerons u{x^y)j 

 i^{x,y)j w(Xjy) ou simplement u, ç, w les intégrales normales 

 de première espèce relatives à la courbe (g), et nous écrirons 

 comme il suit le Tableau des périodes normales de ces intégrales : 



Si l'on coupe d'abord la courbe par une droite quelconque, on 

 obtient quatre points d'intersection M,, Mo, M3, M4, de coor- 

 données {Xi,y^), (^2,:r2), (^^3,73), («2:^4, 74)- Nous appellerons 

 Ui^U2^ U3, liji les valeurs u(xi,yi), u(x2^ y2)^ • • . de l'intégrale 

 u{x, y) en ces quatre points; de même (^,, To, ('3, i'4 et iVi^ Wo, ^^3, 

 ÇV4 les valeurs des deux autres intégrales de première espèce aux 

 mêmes points. D'après le théorème d'Abel, on a, entre ces valeurs, 

 les trois relations 



/ Z^l -r- Mo -f- M3 + M4 = P H- il-i -h l\ -7- inB" -r- /zB', 

 (10) < Çi -^ V2 -h i^3 -^ i\ = Q -+- 2.u.T.i-^ IB" -\- mX' -^ nB, 

 { wi -+- ^2+ «^3 -+- (P4 = R -I- 'iv-i H- /B' -+- niB H- nB", 



où P, Q, R sont des constantes indépendantes de la sécante 

 considérée, )., [jl, v, /, m, n désignant des nombres entiers po- 

 sitifs, négatifs ou nuls. Pour abréger, on peut dire que les seconds 

 membres de ces relations (10) sont égaux respectivement à P, Q, R, 



