496 CHAPITRE XII. 



à des multiples des périodes près, et les écrire 



Ml-f- Ui + W3 -h M4 = P, 



«^1+ w^-+- w^-\- Wi^^ R, 



en employant la même notation qu'à la page 896. 



Sur les quatre points Mi, M2, M3, M/, on peut en prendre deux 

 arbitrairement; la droite qui les joint coupe alors la quartique en 

 deux autres points bien déterminés. Les équations (10) doivent 

 donc déterminer sans ambiguïté deux des quatre points quand les 

 deux autres sont donnés. L'une d'elles est donc une conséquence 

 des deux autres. Ce fait que les trois équations (10) fournies par 

 le théorème d'Abel se réduisent actuellement à deux est spécial 

 aux systèmes de points dHnter section par des droites ; cela 

 lient à ce que les droites sont des courbes dont l'ordre est infé- 

 rieur de trois unités à celui de la courbe. 



Si nous coupons la courbe par une conique G2= o, nous ob- 

 tenons huit points d'intersection Mi, Mo, ..., Mg*, les valeurs 

 des intégrales u^ ^, w en ces huit points sont liées par les relations 



[ Ui-^u^^. ..-^u^ = 2 P -I- 2 Xtï j + / A -h m B" -f- /i B', 



(11) < t^i-l- P2 -+-. • .+ ^8 = 2Q -t- 2(Ji7ït+ /B"-f-mA' -i-;zB, 



( Mfi-T- «^2-f-. . .H- M^8 = 2R -f- 2V7rî -t- /B' + mB H- nhl\ 



où les premières constantes 2 P, 2Q, 2R sont les doubles des con- 

 stantes qui figurent dans les relations (10). 



Sur ces huit points d'intersection, Mi , M2, . . . , Mg on peut en 

 prendre cinq, M4, M5, . . . , Mg arbitrairement; la conique passant 

 par ces cinq 'points coupe la quartique en trois points M,, M2, M3 

 bien déterminés. Les coordonnées de ces trois points sont données 

 parles trois relations (11); pour les calculer effectivement;, on 

 aurait donc à résoudre le problème de l'inversion qui donne, 

 comme on le sait, un seul système de valeurs pour les coordonnées 

 des trois points M,, M2, M3. On peut donc dire que les rela- 

 tions (i i)sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que 

 les huit points de la quartique soient sur une conique. 



Pour faire une application de ces conditions, cherchons les 

 coniques qui sont tangentes à la quartique en quatre points M,, 



