APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 497 



Mo, M3, M4. Pour cela, il faut et il suffit que les points M5, Me, 

 M7, Mg coïncident respectivement avec les quatre premiers. 

 Les relations (i i) deviennent alors 



2 î<, -^ 2 u-i -^111^-^111-^= 2 P -+- ilr.i^ IX — m B" + n B', . . . , 



ou, en divisant par 2, 



Itl-T- «2 -r- «3 H- «i —P-^ 

 (12) { (,j ^ (,2 H- ç,^ _|. p^ = Q _;_ 



^1 -f- 4^2 + W3 + W4 = R -h 



2 



D'après ces équations, on voit qu'on peut prendre arbitraire- 

 ment l'un des quatre points de contact, M4 par exemple; les trois 

 autres M,, Mo, M3 sont ensuite déterminés par les équations (12). 

 Une fois les nombres entiers )., a, v, /, //z, n choisis, les équa- 

 tions (12) donnent pour les coordonnées de M,, M2, M3 un seul 

 système de valeurs qui varient d'une manière continue quand le 

 point M4 se déplace sur la courbe. Donc, à chaque système de va- 

 leurs des entiers À, ui, v, /, m, n correspond un système de co- 

 niques tangentes en quatre points à la courbe. Si l'on ajoute aux 

 nombres A, a, v, /, /??, n des nombres entiers pairs quelconques, 

 le système des coniques reste le même, car cela revient à ajouter 

 aux seconds membres des équations (12) des périodes simultanées ^ 

 l'inversion donne alors les mêmes valeurs pour (^,, j'i), (^27jK2)j 

 (•^37 JK3) en fonction de (^4,^-4). 



Il suffit donc, pour obtenir tous les systèmes de coniques tan- 

 gentes en quatre points, de donner à chacun des six entiers qui 

 figurent dans les relations (12) les valeurs o et i. En associant ces 

 valeurs o et i de toutes les manières possibles, on obtient 2«= 64 

 systèmes de valeurs pour A, [jl, v, /, m, n. Il existe donc Çt^ sys- 

 tèmes distincts de coniques tangentes en quatre points à la quar- 

 tique. Mais un de ces systèmes, celui que l'on obtient en prenant 

 A ^ a = V = / = /?? = /z =: o, est composé des droites du plan 

 regardées comme des droites doubles; en effet, pour cette détermi- 

 nation des six entiers les équations (12) expriment que les quatre 

 points M,, M2, M3, M4 sont en ligne droite. Il n'y a donc que 

 63 systèmes de coniques véritables tangentes en quatre points. 



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