49B CHAPITRE XII. 



Nous obtiendrons des résultais analogues en coupant la quar- 

 tique donnée par une cubique Cg^ o. Il y a alors 12 points d'in- 

 tersection, sur lesquels 9 peuvent être choisis arbitrairement : les 

 trois autres sont déterminés sans ambiguïté. Les conditions néces- 

 saires et suffisantes pour que 12 points de labiquadratique soient 

 sur une cubique sont donc 



Uy + îi2 -t- • • • -+- ^^12 = 3P -I- 2X71^-1- ZA -^ mW -\- nW, 

 Pj _f- ^2 -f-. . .-+- P12 = 3Q-i- 2[jLîrf + /B"+ 7?iA'-H/iB, 



^j_l_ (Va-H. . .-h «^12= 3R -4- 2v TTi + ZB'-h mB -f- ai A". 



On pourrait, par exemple, employer ces relations à déterminer 

 les systèmes de cubiques ayant un contact du deuxième ordre en 

 quatre points : on en trouverait 3'^ dont un formé par les droites 

 du plan comptées comme triples. 



En général, si l'on coupe la quartique par une courbe 

 Q =r o d'ordre 5 > 3, il y a 4-^ points d'intersection sur lesquels 

 45 — 3 peuvent être pris arbitrairement, les trois autres étant 

 alors complètement déterminés. En effet, l'équation C^ = o con- 

 tient ^^'^^ V. coefficients d'une façon linéaire et homogène; 



l'équation de la quartique étant ¥{x,y) = o, le système des points 

 d'intersection de la quartique avec C^ — o est le même qu'avec la 

 courbe G'^ = o ayant pour équation 



G,— G,_4F(^,jk) =0, 



où Q_/, est un polynôme en x et y, de degré s — 4? contenant 



< -^ — ) ( -^ — ?- ) coefficients arbitraires. On pourra déterminer ces 



•1 ^ 



derniers coefficients de façon à annuler, dans C^, un nombre égal 

 de coefficients. La courbe C^ ne contiendra plus dans son équa- 

 tion que 



coefficients d'une façon homogène. On pourra donc faire en sorte 

 que 45— 3 des points d'intersection de G^ , c'est-à-dire de G^, avec 

 la quartique, aient des positions données à l'avance. Une fois ces 



