APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 499 



45 — 3 points choisis, le théorème d'Abel fournit les trois rela- 

 tions 



ui -i- U2 -T-.. .-+■ ii.,s = sP, 



wi -+- tr, -h ... -h W!,s = s R, 



ayant lieu à des multiples de périodes près, et permettant de cal- 

 culer les coordonnées des trois derniers points d'intersection. Les 

 constantes des seconds membres sont nécessairement ^P, 5Q, sR; 

 car ces relations doivent être vérifiées en particulier quand la 

 courbe Cs se décompose en s droites. 



229. Supposons maintenant que la courbe du quatrième ordre 

 acquière un point double x = a^ y=^ à tangentes distinctes. 

 La courbe F{x^y) = o esl alors de genre deux ; il n'existe plus 

 que deux intégrales distinctes de première espèce. L'intégrale la 

 plus générale de première espèce est 



/ 



!x(x — a) 4- [3(jK — b) 



dx. 



où a et P sont des constantes arbitraires, car le numérateur égalé 

 à zéro doit représenter une droite passant par le point double. 

 Nous appellerons u{x^y) et v^x^y)^ ou simplement u et v les 

 deux intégrales normales de première espèce^ les périodes de 

 ces intégrales relatives aux coupures «4, «o et ^,, Z^o sont données 

 par le Tableau 



La troisième intégrale qui figure dans les relations précédem- 

 ment établies, pour la quartique sans singularités, est actuelle- 

 ment remplacée par une intégrale de troisième espèce ad- 

 mettant pour points singuliers logarithmiques les deux points 



