500 CHAPITRE XII. 



analytiques distincts superposés au point double. L'intégrale de 

 troisième espèce la plus générale remplissant ces conditions est 



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^^^ïrfx. 



F' 



où a, p, Y sont des constantes ; cette intégrale est la limite vers 

 laquelle tend l'intégrale la plus générale de première espèce con- 

 sidérée dans le n° 228, lorsque la courbe F = o acquiert un point 

 double; elle est composée linéairement avec les deux intégrales de 

 première espèce u et ç et une intégrale normale de troisième 

 espèce tj5{x^ y) ayant pour points singuliers logarithmiques les 

 deux points analytiques superposés au point double x=^ a^ y = b. 

 Cette intégrale normale -ns^x^y) admet une période polaire iizi et 

 deux périodes D et E relatives aux coupures b^ et 62; les pé- 

 riodes relatives aux coupures a^ et a-^ sont nulles. 



Gela posé, il faut distinguer deux cas pour l'étude des systèmes 

 de points d'intersection de la courbe F = o avec une autre courbe, 

 suivant que la courbe sécdiXite passe ou non par le point double^ 

 c'est-à-dire suivant qu'elle est adjointe ou non. 



1° Courbes non adjointes. — Soit d'abord une droite ne pas- 

 sant pas par le point double; elle coupe en quatre points : M,, 

 M2, M3, M4; nous distinguerons, comme précédemment, par les 

 indices i, 2, 3, \\es valeurs des intégrales u, (', tjs en ces points. 

 Ces valeurs sont liées par les trois relations 



/ Ui H- u=i -H W3 -h z/4 = P H- 2X TïJ H- ^A -f- m B, 

 {11 bis) i Pi H- c^2 + ^3 + <^4 = Q H- 2 ;ji Tt t H- / B -H m G, 



( tîTi + ^2 + Tn3 -h tï?4 = R H- 2 V TT t H- / D H- W E, 



P, Q, R désignant des constantes indépendantes de la sécante 

 considérée^ )^, u., v, /, m des entiers quelconques. Le fait que P 

 et Q sont indépendants de la sécante est évident, d'après le théo- 

 rème d'Abel appliqué <aux intégrales de première espèce. Pour 

 montrer que R est également indépendant de la droite sécante, 

 il faut se reporter à ce qui a été dit du théorème d'Abel pour 

 une intégrale de troisième espèce devenant infinie en deux points 

 superposés en un point double (n^ 185). 



Les relations (12 bis) sont donc établies. L'une de ces relations 



