APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5oi 



doitêtreuneconséquencedesdeuxautres, car, deuxdes quatre points 

 M|, M2, M3, M4 pouvant être choisis arbitrairement, il ne peut 

 exister entre eux que deux relations distinctes. Mais on peut pré- 

 ciser et affirmer que les deux premières relations (12 bis) donnent 

 les conditions nécessaires et suffisantes pour que les quatre points 

 soient en ligne droite : en effet, M3 et M4 étant choisis, ces deux 

 relations donnent, pour M, et Mo, un seul système de valeurs. La 

 troisième relation (12 bis) est donc une conséquence des deux pre- 

 mières. Ce fait exceptionnel d'une équation surabondante ne se pré- 

 sente plus quand on coupe par des courbes d'ordre supérieur à un. 

 Par exemple, coupons par une conique G2 ne passant pas par 

 le point double : nous aurons huit points d'intersection, dont cinq 

 arbitraires. Les valeurs des intégrales u, r, tj5 en ces huit points 

 sont liées par les relations 



(i3) 



les premières constantes des seconds membres étant 2P, 2Q, 2R, 

 comme on le voit en supposant que la conique Go se décompose 

 en deux droites. Ces équations (i3) donnent les conditions néces- 

 saires et suffisantes pour que huit points de la quartique soient 

 sur une conique. Pour calculer, à l'aide de ces relations, les coor- 

 données de trois des points quand les cinq autres sont donnés, on 

 doit résoudre le problème d'inversion généralisé (n° 213). 



Comme application, cherchons encore les systèmes de coniques 

 tangentes en quatre points M,, Mo, M3, M4 à la quartique ; nous 

 aurons, en supposant que les quatre autres points M5, Mo, M7, Mg 

 coïncident respectivement avec les quatre premiers 



^ '2>. TTt -T- /A -i- mB 

 Ui 4- 11-2 -+- «3 -h u-^ = P -\- 



( 14 ) { ^1 + ^-'2 -+- ^'3 + t'i = Q -^ 



Wi -f- W--> -r- TÎT3 -f- TJT^ = R H- 



Pour obtenir tous les systèmes de coniques tangentes en quatre 

 points, il suffît de donner aux cinq entiers X, a, v, / et j?i les va- 



