50'J. CHAPITRE XII. 



leurs o et i associées de toutes les manières possibles; c'est ce 

 qu'on verrait comme plus haut (p. 497), car les valeurs de Mi, 

 M2, M3 déduites des relations (i4) en fonction de M/,, ne chan- 

 gent pas quand on augmente ou diminue un quelconque des cinq 

 entiers d'un nombre pair; il y a donc 2^ = 82 systèmes de coni- 

 ques distincts ; mais l'un d'eux, celui qu'on obtiendrait en prenant 



X = (Jl = V = l =: 7?l = o, 



se composant des droites du plan regardées comme doubles, il y a 

 3i systèmes de coniques proprement dites tangentes en quatre 

 points à la quartique. 



Si l'on coupe la biquadratique par une courbe Q d'ordre 5, non 

 adjointe, on voit de même que les coordonnées des 4-^ points d'in- 

 tersection sont liées par les trois relations nécessaires et suffisantes 



Ui-i- u^-h. . .^ Ui,s= sF -h ilr.i-h lA-h mB, 



i^i + ^2 +. • •+ i-'i^s = sQ -h 2 [XTii-h /B 4- mC, 



Wi-\- W^-h . . .-h Wi^s = SR -f- 2V Tlî H- /D -h /?2E. 



2" Courbes adjointes. — Quand on coupe la quartique par 

 une courbe passant par le point double, ce point compte pour un 

 dans le nombre de points nécessaires pour déterminer la courbe 

 sécante, mais il compte pour deux dans le nombre de points d'in- 

 tersection de la courbe avec la quartique. D'autre part, l'inté- 

 grale 7n devient infinie aux deux points d'intersection confondus 

 avec le point double et la somme des deux valeurs de l'intégrale ttt 

 en ces deux points doit être regardée comme indéterminée. Les 

 relations précédentes doivent alors être modifiées. Mais cette mo- 

 dification est des plus simples : elle consiste à effacer la dernière 

 relation, celle qui contient l'intégrale cî et à ne conserver que les 

 deux premières. 



Coupons d'abord par une droite issue du point double; soient 

 Mi et M2 les deux autres points où cette droite coupe la courbe, 

 Ui , U2 et Çi , (^2 les valeurs des intégrales u et ç en ces points, u' et 

 u'\ ç' el v" leurs valeurs aux deux points analytiques superposés 

 au point double. Le théorème d'Abel pour les intégrales de pre- 

 mière espèce s'applique toujours et donne 



( Mi-+- M2= P'-i- ^X-Âif + /A -H mB, 



(i5) <, 



[ v^ 4- p., = Q'-l- 2;jL7iJH- IB -\- mC, 



