APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GEOMETRIE. 5o3 



P' et Q' désignant les constantes P — «'— u" et Q — v' — v\ Ces 

 relations (i5) doivent se réduire à une, car un des points ^M, et 

 M2 peut être choisi arbitrairement. On a encore là un cas où le 

 problème de l'inversion est indéterminé. 



Si l'on coupe par une conique Co passant par le point double, 

 cette conique coupe en six points distincts du point double entre 

 lesquels ont lieu les relations 



(16) 



Sur ces six points, quatre peuvent être choisis arbitrairement; 

 les deux autres sont déterminés par les équations (16), en vertu 

 du problème d'inversion. On a donc obtenu les conditions néces- 

 saires et suffisantes pour que six points de la courbe soient sur 

 une conique passant par le point double. Ces conditions pourraient 

 servir, par exemple, à déterminer les coniques passant par le 

 point double et tangentes en trois points à la quartique. Enfin, 

 pour que ^s — 2 points de la quartique soient sur une courbe Cs 

 d'ordre s, passant par le point double, il faut et il suffit que l'on ait 



Z^l+ ï«2-+-.- --^ «i5-2= P'-+-(5 — l)P, 



30. Quartique avec deux points doubles Z etZ' à tangentes 

 distinctes. — Dans ce cas le genre est un\ l'intégrale 



/ 



^^^'U:c, 



F> 



OÙ a, |i, V sont des constantes, est de première espèce quand 

 la droite aj^; -f- j3y -f- y ^ o passe par les deux points doubles. 

 Mais si a, J^, v sont arbitraires, cette intégrale est une fonc- 

 tion linéaire de l'intégrale normale de première espèce z^, et 

 de deux intégrales normales de troisième espèce ts et -us' de- 

 venant infinies, la première aux points superposés au point 

 double 0, la deuxième aux points superposés en 8'. 



L'intégrale u admet les périodes 2 t: « et A sur les coupures a et 

 b\ l'intégrale to admet la période polaire 27:/, la période o sur a 



