5o4 CHAPITRE XII. 



et B sur b] th' admet de même la période polaire 2-/, les périodes 

 et G sur a et b. 



Il faudra, pour l'étude des systèmes de points d'intersection, 

 distinguer trois cas, suivant que la courbe sécante ne passe par 

 aucun point double, passe par un point double ou par les deux. 



i"" Courbes ne passant par aucun point double. — On trouve 

 comme plus haut les relations suivantes en distinguant par des 

 indices les valeurs des intégrales u^ to, ra' aux points d'inter- 

 section. 



Droites sécantes : 



où p, Q, R sont des constantes, >., u, v, /des entiers. Ces relations 

 se réduisent à deux. 

 Coniques sécantes: 



Ui + M2 H- . . . -h i«8 = 2 P -^ 2 X TT i -i- / A, 

 757i + TTT2 -+- . . . -h TTTg = 2 Q + 2 [JITÎ J + / B, 

 Txj[ ^- w'^ -+- . . . -f- TTj'g = 2 R -h 2 V T t -h / G . 



Cherchons,par exemple, les coniques tangentes en quatre points. 

 Comme actuellement il n'y a plus que quatre entiers 1, a, v, /, on 

 trouve 2"* — I = i5 systèmes de coniques véritables tangentes en 

 cjuatre points. 



^'^ Courbes passant par un des points doubles 0'. — H y a 

 alors une relation de moins entre les points d'intersection et deux 

 de ces points sont situés au point double S'. La relation qui con- 

 tient l'intégrale w^ n'a plus de sens. Il reste alors les relations 

 suivantes, dans lesquelles P' et Q' désignent de nouvelles con- 

 stantes. 



Droites passant par V : 



11^ 4- wo = P' + 2X771+ /A, 

 Toi -h 71T2 = Q'+ 2fji7rt + /B. 



Ces relations se réduisent à une. 



