APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 5o5 



Coniques passant par o' : 



iii-{- iio-^. . .-\- uc, = P' -f- P 4- -iX-t + /A, 



TUi -+- CJo + • • • -i- ^6 = Q' H- Q -^ 2 {JL- t -+- /B, 



et ainsi de suite. 



3° Courbes passant paj' les deux points doubles S et o'. — H n'y 

 a plus alors qu'une relation entre les points d'intersection : c'est 

 celle qui est donnée par l'intégrale de première espèce. 



Coniques passant par o et o' . — Elles coupent en quatre 

 points variables dont trois arbitraires; ces quatre points sont liés 

 par la relation 



(17) Z^l4- Ui-^ U^^ z^- =z P H- 2A-i 4- Ik. 



La constante est nécessairement P, car la relation doit être vé- 

 rifiée en particulier si la conique se décompose en deux droites, 

 l'une joignant les deux points doubles et l'autre quelconque; elle 

 doit donc être vérifiée par quatre points en ligne droite. La rela- 

 tion (17) ainsi obtenue est nécessaire et suffisante pour que les 

 quatre points soient sur une conique passant par et o', car elle 

 donne une seule position pour M, quand Mo, M3, M4 sont choisis 

 arbitrairement. 



De même, une cubique passant par les deux points doubles 

 coupe la courbe en 8 points variables dont - peuvent être choisis 

 arbitrairement, le huitième étant alors déterminé et unique. Ces 

 huit points sont liés par la relation 



zf 1 4- z«2 -i- • • • H- «8 = îi P -T- 2 X T t -h / A , 



où la constante est 2P, car la relation doit être vérifiée quand la 

 cubique se décompose en trois droites dont une joignant les points 

 et ù' . 



On vérifiera en général que, si une courbe Q d'ordre s passe 

 parles deux points doubles, elle coupe la quartique en 4 5 — 4 points 

 dont 4-5 — 5 peuvent être choisis arbitrairement; ce raisonnement 

 est identique à celui de la page 491- Les valeurs de u aux ^s — 4 

 points sont liées par la relation nécessaire et suffisante 



* «l-t- «2-r-. • .-^ "4a--4= {s l) P H- 2X7:^-4- /A. 



