5o6 CHAPITRE XII. 



231. Il nous reste à examiner le cas simple où la courbe a trois 

 points doubles à tangentes distinctes ; elle est alors unicursale : 

 les coordonnées d'un point de la courbe s'expriment en fonctions 

 rationnelles d'un paramètre t^ de telle façon qu'à chaque point de 

 la courbe corresponde une seule valeur de t et réciproquement. 

 La courbe étant du genre zéro, il n'y a pas d'intégrale de première 

 espèce correspondante. 



Soient B<, 80, B3 les trois points doubles, a^^ b^ les deux valeurs 

 de t qui donnent le point ûi, a^^ b^, et a^, 63 celles qui donnent 

 les points 80 et Ô3. Si Q_{oc^ y) = o désigne l'équation de la droite 

 8283, l'intégrale 





<--Q(-,r)^, 



f;-(^,7) 



est une intégrale de troisième espèce admettant pour points sin- 

 guliers logarithmiques les deuxpoints superposés aupointdouble 8,. 

 Si donc on l'exprime en fonction de i, en y remplaçant œ al y 

 par leurs expressions en t^ on doit trouver 



(.8) .(.,^) = ,„.f-^f..;rl.. 



Cette intégrale n'a plus qu'une période polaire 271 1. 



i" Intersection avec des courbes ne passant par aucun point 

 double : 



Appelons ^,, ^2 7 ^3) ^4 les valeurs du paramètre correspondant 

 aux quatre points d'intersection (^^,J'^), (^25^^2)7 (^a^JKs)? 

 (^4, y^ de la courbe avec une droite; d'après le théorème d'Abel 

 appliqué aux intégrales de troisième espèce, la somme 



^(^i,J))-+- ^(^2,72) + ^(^-3,73) + ^(^4,74) 



a une valeur constante indépendante des coefficients de la droite 

 considérée ; la partie logarithmique disparaît, car les points sin- 

 guliers logarithmiques de tîj(^, j/)sont superposés au point double. 

 Remplaçant dans cette somme tïï(^<, J^/^ ), ... par leurs valeurs 

 tirées de (18), on a une relation de la forme 



