APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 607 



K, étant une constante et n^ un entier quelconque. La considéra- 

 tion des deux intégrales de troisième espèce devenant respective- 

 ment infinies aux points superposés en Oo et O3 donne de même 

 les deux relations 



(19') 



lo< 



lOî 



loî 



?2 — ^2 



ti-b, 



lo.^ 



^2 

 «3 



.-^log 

 . -T-lo£r 



05-2 



bi 



= K, 



in^r.i, 



t^—b 



Î^ = K3 



Ces trois relations (ig) et (19') se réduisent nécessairement à 

 deux, car deux des points d'intersection d'une droite avec la 

 courbe peuvent être choisis arbitrairement; les deux autres sont 

 alors déterminés sans ambiguïté. Donc, ^3 et ^J étant pris arbi- 

 trairement, les valeurs de ti et (2 tirées des deux équations (19') 

 doivent vérifier (19), ce qui exige l'existence de relations entre 

 les constantes K,, Ko, K3 et les quantités «<, b^, «o, ^25 <^'35 ^3- 

 Certaines de ces relations s'obtiennent immédiatement; par exem- 

 ple, la droite ûoSs, joignant deux des points doubles, rencontre la 

 courbe aux points 



b-2j 



b,: 



ces valeurs doivent donc vérifier l'équation (19); en écrivant ce 

 fait, on a l'expression de K, en fonction de «j, 64, a-i, ^2, 

 «3, ^3. 



Ces équations (19) et (19'), dans lesquelles t^, a une valeur arbi- 

 traire, fournissent donc un exemple du cas où le problème d'in- 

 version généralisé est indéterminé, car ces trois équations ne dé- 

 terminent pas tf, 1-2, t-i ; on peut encore y prendre arbitrairement 

 une de ces quantités. 



On verra de même que, si huit points de la courbe ?i , ^o? • • • > ^8 

 sont sur une conique, on a 



(20) 



lo< 



a, 



ti—bi 



lo 



">"^T-,, 



ï^ -T- lo 



lo< 



_«3 _ . 

 63 ' ^^^-^3 



= 2Kt-4- iniT.i, 

 = 2K2-T- in^r^i, 

 = 2K3-)- in^rA. 



