5o8 CHAPITRE XII. 



Les trois conditions (20) sont les conditions nécessaires et 

 suffisantes pour que huit points de la courbe soient sur une 

 conique; elles sont nécessaires, comme nous venons de le voir: 

 elles sont suffisantes, car cinq des points ^4, ^5, Iq, ify, tg étant 

 choisis arbitrairement, la conique de ces cinq points coupe la 

 courbe en trois antres points bien déterminés, et ces trois points 

 coïncident nécessairement avec les points t^^ t^^ t^ définis par les 

 équations (20), qui donnent pour ^,, t^, t^ un seul système de 

 valeurs. 



Appliquons, par exemple, ces relations à la détermination des 

 points d'inflexion. 



Pour un point d'inflexion t on a, en coupant par la tangente 

 d'inflexion, ^0 = ^3 = ^/i = f- Donc les équations (19') donnent 



3l0g — -}-log — = K2+2Al2 7rï, 



l 6*2 f 1 l^± 



t — a^ ti— as 



3 i^s j_rb, + i^s l—Tb, == K3+ 2^37:.. 



Si l'on passe des logarithmes aux nombres, et si l'on élimine f, 

 entre les deux équations linéaires en ti ainsi obtenues, on a une 

 équation du sixième degré en t : il y a donc six points d'inflexion. 



Appliquons de même les relations (20) à la détermination des 

 systèmes de coniques tangentes en quatre points de paramètres ii, 

 ^2, ^3, tf,. Pour obtenir les groupes de quatre points de contact, 

 exprimons que Z^, Iq^ t-j et tg sont égaux respectivement à /< , fo^ 

 ^3, tj^. Les relations (20) deviennent 



(21) 



K^H- injcizi, 



où A-^ I, 2, 3. Ces formules montrent que t,^ peut être pris arbi- 

 trairement : ^1, ^25 ^3 sont alors déterminés. On obtiendra huit 

 systèmes difl'érents de coniques quadruplement tangentes en don- 

 nant à /11, /Zo, n^ les valeurs o et i associées de toutes les manières 

 possibles. Mais la combinaison 



/ij == 722 = ^3 = o 



