APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. DOg 



donne des groupes de quatre points en ligne droite; c'est une so- 

 lution fournie parles droites du plan regardées comme doubles. Il 

 ne reste donc que sept systèmes de coniques tangentes en quatre 

 points. 



On obtiendrait de même les trois relations nécessaires et suffi- 

 santes pour que douze points de la courbe soient sur une cubique 

 ne passant pas par un point double, et l'on pourrait en déduire 

 les cubiques ayant en trois points un contact du troisième ordre, 

 ou en quatre points un contact du second ordre, etc. 



2° Courbes passant par un ou plusieurs points doubles : 



Si une courbe sécante passe par un point double, il y a entre 

 les points d'intersection une relation de moins, celle qui contient 

 l'intégrale de troisième espèce infinie au point double. 



Si la courbe passe par deux points doubles, il disparaît les deux 

 relations contenant les intégrales de troisième espèce devenant 

 infinies en ces deux points : il ne reste donc alors qu'une re- 

 lation. 



Par exemple, une conique passant par deux points doubles 

 coupe la courbe en quatre points variables, dont trois arbi- 

 traires. 



Si la courbe sécante passe par les trois points doubles, il n'y a 

 plus aucune relation entre les points d'intersection. Ainsi une 

 conique passant par les trois points doubles coupe la courbe eu 

 deux points variables que Ton peut prendre arbitrairement. 



Remarque. — Si certains des points doubles devenaient des 

 rebroussements, il suffirait de remplacer fintégrale de troisième 

 espèce devenant infinie au point double par l'intégrale de seconde 

 espèce admettant le point de rebroussement comme pôle du pre- 

 mier ordre. 



232. 2'angentes doubles des quartiques. — Le problème des 

 tangentes doubles des quartiques présente des difficultés particu- 

 lières qui tiennent à ce que les droites sont des courbes de degré 

 m — 3 (/?i = 4) et que les équations exprimant que quatre points 

 sont en ligne droite sont surabondantes. 



Si l'on coupe une quartique sans points singuliers par une tan- 

 gente double, les quatre points d'intersection sont deux à deux 

 confondus avec deux points M, et Mo. Les équations (lo), p. 49^) 



