CHAPITRE XII. 



qui expriment que quatre points sont en ligne droite, deviennent 

 alors 



P H- 'îlizi^ /A -1- ?nB" -h nB' 



(22) 



lll -+- 11-2 — 



Wi -j- iV2 



2 



Q-h iixr.i-{- IB" -h m A' -+- nB 



2 



R H- 2V7:f -h IB' 4- ?nB -f- 7i X" 



On a ainsi trois équations pour déterminer les deux points de 

 contact M| et Mo. Les lettres /, m^ n, )^, |j., v désignent des en- 

 tiers. Il est certain d'avance que l'on pourra donner à ces entiers 

 des valeurs telles que les trois équations ci-dessus soient compa- 

 tibles, car on sait qu'il existe des tangentes doubles, mais la diffi- 

 culté est de savoir comment il faut choisir ces valeurs des entiers. 

 Tout d'abord il suffit de donner à chacun des entiers une des 

 valeurs o et i, car, en augmentant ou diminuant un des nombres 

 /, m, n, )v, tx, V de deux unités, on ajoute ou retranche des pé- 

 riodes aux seconds membres des équations. 11 reste alors à savoir 

 comment il faut associer les valeurs o et i données aux six en- 

 tiers; Riemann a démontré (^), par des considérations tirées de 

 l'évanouissement des fonctions 0, qu'il faut et qu'il suffit que les 

 entiers /, m^ /z, X, |j., v vérifient la condition 



(23) Il -]- m [j. -i- nv = un nombre impair. 



Comme l'étude des fonctions ne rentre pas dans le sujet que 

 nous avons voulu traiter, nous admettrons le théorème de Rie- 

 mann. Il correspondra une tangente double à chaque système de 

 valeurs des nombres /, m, n, À, p., v vérifiant la condition (aS), 

 ces nombres ayant chacun la valeur o ou i. Pour évaluer le 

 nombre des tangentes doubles, supposons d'abord deux des nom- 

 bres /, m, n nuls, le troisième étant i ; ce qui peut se faire de 

 trois manières. Par exemple, supposons 1= m = o^ n = i . Alors 

 ). et [J. peuvent prendre chacun les deux valeurs o et i , mais v 

 doit être égal à i, ce qui donne 4 systèmes de valeurs pour )., tji, 



(') Zwr Théorie der Abelsclien Functionen fiXr den Fall p = 3 {Œuvi-es com- 

 plètes, p. 457 )• 



