APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5ll 



v; on a, de cette façon, 12 systèmes de valeurs pour /, /??, /?, A, 

 a, V en supposant deux nombres /, m, n nuls. Si un seul des 

 nombres /, m, n est nul, / par exemple, X peut prendre la valeur 

 o et I , puis [JL -H V doit être impair, ce qui exige a = o avec v ^= i , 

 uL =: I avec V =^ o; on a donc encore 4 systèmes de valeurs de X, 

 a, V, en supposant / nul, m et n égaux à i , ce qui donne, en pre- 

 nant un seul des nombres l, m, n nul, 12 systèmes de valeurs des 

 6 entiers. Enfin, supposons l = m = n =^ i -^ alors X -1- ui -f- v doit 

 être impair; donc, ou bien les trois nombres X, tx, v sont égaux 

 à I ou un seul d'entre eux est égal à 1 : ce qui fait 4 systèmes de 

 valeurs. On a ainsi en tout 28 tangentes doubles conformément 

 aux formules de Pliicker. Désignant par (Imn, A[av) une tangente 

 double correspondant à un choix déterminé des six entiers i, m, n, 

 X, [Ji, V, on a le Tableau suivant des 28 tangentes doubles : 



(100.100) (oTo,oio) (001,001) (OTI,OIO) 

 (toOjIio) (010,110) (001,011) (011,001) 



(100.101) (010,011) (001,101) (011,110) 

 (100,111) (010,111) (001,111) (011,101) 



(101,100) (110,100) (111,100) 



(101,110) (110,101) (111,010) 



(101,001) (110,010) (111.001) 



(101,011) (110, ou) (111,111) 



Nous ne nous occuperons pas ici de la réalité de ces tangentes 

 doubles, en nous bornant à remarquer qu'elles peuvent être toutes 

 réelles, comme l'a montré Pliicker (voir Salmon, Courbes 

 planes). Nous indiquerons quelques théorèmes relatifs au grou- 

 pement de ces tangentes doubles, théorèmes que Hesse et Steiner 

 ont démontrés par voie algébrique et que Glebsch a établis comme 

 application du théorème d'Abel (Journal de C relie, t. 63) ('). 



Nous avons trouvé (n° 228) qu'il existe 63 systèmes de coniques 

 tangentes en quatre points à la quartique. Dans chacun de ces 

 systèmes figurent six couples de tangentes doubles; les points 

 de contact de deux couples appartenant au même système 

 sont situés sur une conicjue. 



(*) Voyez aussi Leçons sur la Géométrie^ par Clebsch, traduites par Benoit, 

 t. III, p. 345 et suivantes. 



