APPLICATIONS DU THEOREME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 5l3 



druplement tangente du système (25), il faut et il suffît qu'en 

 ajoutant les relations telles que (?6) et (27) on trouve les relations 

 (26) à des multiples des périodes près. Il faut et il suffit pour 

 cela que À'-}-X'', n' -\- n" soient impairs, ^' -{- u!' ^ v'-f-v'^, i'-\-l"-, 

 m' + m" pairs. Les six couples suivants de tangentes doubles 

 remplissent ces conditions : 



I (010,010) (oii,iio) 



II (011,010) (010, no) 



III (100,111) (101,011) 



IV (100,101) (101,001) 



V ( 110,011 ) (111,111) 



VI. (110,101) (111,001) 



Les huit points de contact de deux quelconques de ces couples 

 sont sur une conique; en effet, les quatre points de contact de 

 chaque couple vérifient des relations de la forme (25). En ajou- 

 tant, membre à membre, les relations correspondantes pour les 

 deux couples, on obtient précisément des relations de la forme 

 (11), qui expriment que huit points sont sur une conique. 



233. Nous venons de supposer que la courbe du quatrième ordre 

 n'a pas de points doubles. Si elle acquiert des points doubles ou des 

 points de rebroussement, le nombre des tangentes doubles diminue, 

 conformément aux formules de Plûcker. On pourra encore étu- 

 dier le nombre et la disposition de ces tangentes à l'aide des rela- 

 tions fournies par le théorème d'Abel. 



Pour ne pas rendre cette étude trop longue, nous nous boise- 

 rons à examiner en détail le cas où la courbe admet trois points 

 doubles à tangentes distinctes. 



Nous avons trouvé (n° 23i) les conditions nécessaires et suffi- 

 santes pour que quatre points ^,, t^, ^3, t^ de la quartique unicur- 

 sale soient en ligne droite. Ces relations peuvent s'écrire 



Cl désignant la constante e^''. Les constantes c,, Co, C3 se déter- 

 minent de la façon suivante. Considérons la droite joignant les 

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