5l4 CHAPITRE XII. 



deux points doubles («o? ^2) et (a^, 63). Cette droite coupe la 

 courbe aux quatre points 



Exprimant que la première des relations (28) est vérifiée par ces 

 valeurs de ^<, t. 2, ts, ^/,, on a 



""ï - («2 -bi){b,-bi)ia,- bi)ib, ■- 60 * 

 De même, on a 



g _ ( c?.3 — a^)(bs — a-2)(ai —a^Mb^ — a-j) 

 ^^ "" ^a^ — b^){b^ — b.i){ay-bi){b, -62)' 



2 _ {ax — az){bi~-a-i){ai — a^){bi--a^ ) ^ 

 ^'' ~ {ay — b^){bi — bs){a^-~bi){bz — b^)' 



On tire de là deux déterminations pour chacune des constantes 

 C\, C2, C3 : nous les choisirons comme il suit. Formant le produit 

 ^1^2^3 7 ^^ trouve un carré parfait dans le deuxième membre; 

 nous extrairons les racines et nous prendrons 



(«1— «aH^' — «3)(«3— «O 

 <"9) «"=^<'==(i,_è,)(è.-6,)(é3-é,)' 



Ceci posé, arrivons au problème des tangentes doubles. Soient 

 t et t' les paramètres des deux points de contact : on aura dans (28) 



if j = ^2 = ^> ^3 rrr ^^ rr: ^ , 



d'où, en extrayant les racines, 



,_ , (t — ak )(t'—ak) ^ ^ 



^'^^> {t-b,)it'^b,)=^'''^ 



OÙ £/e = ± I . On a ainsi trois relations pour déterminer t et t' ', ces 

 relations se réduisent forcément à deux, par exemple aux deux 

 premières. Une fois £< et £2 choisis, on trouve un seul système de 

 valeurs pour t et t'^ c'est-à-dire une tangente double. Comme 

 e, = dz I, £2 =± I, on peut associer ces valeurs de quatre façons 

 différentes : on trouve donc quatre tangentes doubles. 



Une fois £< et £2 choisis, £3 est déterminé : pour le voir on peut 

 employer la méthode élémentaire suivante, due à Clebsch ; chassons 



