5i6 CHAPITRE XII. 



on peut écrire la relation (3i) 



(A -+- BiSi -T- BaSî + B3£3)( J — £ie2E3) = o. 



Le premier facteur n'est pas nul si (a,, 6,), («2, ^2) (<^35 ^3) 

 sont quelconques; on a donc 



(3!2) ei^2£3 = i, 



ce qui détermine £3, une fois £< et £2 choisis égaux à ±: i . 



Gomme conséquence de cette détermination, nous démontre- 

 rons que les huit points de contact des quatre tangentes douhles 

 sont sur une conique. En effet, supposons écrites les relations 

 (3o) pour les quatre tangentes doubles; en appelant {t^^ t\) , 

 \h, Q, (^3, 4), (^4, i[) les valeurs de t correspondant aux points 

 de contact des quatre tangentes doubles, on aura, en multipliant 

 membre à membre les relations (3o) correspondantes, 





A: = I. 2, 3), 



car, £a ayant deux fois la valeur — i, le produit des seconds 

 membres est c^ ou e^'^S car nous avons posé c'I = e^^K Les rela- 

 tions (33) sont celles qui expriment que huit points de la quartique 

 appartiennent à une conique (n°231). Le théorème est donc 

 démontré. 



On pourra vérifier la proposition suivante : Parmi les sept sys- 

 tèmes de coniques quadruplement tangentes définies par les équa- 

 tions (21), les trois systèmes obtenus en assujettissant n, + /lo + n-i 

 à èlre pair contiennent chacun deux paires de tangentes doubles; 

 les quatre autres systèmes obtenus en assujettissant ni -i- n^ -h n^i à 

 être impair ne contiennent pas de tangentes doubles. 



Si la quartique a des points de rebroussement, le nombre des 

 tangentes doubles est moindre. Il faudrait alors remplacer 



. t — a/, 1 . 



loer 7— par ? 



oik désignant le paramètre du point de rebroussement. 



