APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. Diy 



234. Les cas particuliers que nous avons traités montrent 

 comment le théorème d'Abel donne les conditions nécessaires et 

 suffisantes pour qu'un système de points situés sur une courbe 

 donnée d'ordre m soit le système complet des points d'intersection 

 de cette courbe avec une courbe d'un degré donné. Si la courbe 

 n'a pas de points doubles, les conditions seront exprimées à l'aide 

 d'intégrales de première espèce. S'il y a des points doubles, il 

 faut employer, en outre, des intégrales de troisième espèce deve- 

 nant infinies respectivement aux points superposés aux points 

 doubles. S'il y a des rebroussements, ces intégrales de troisième 

 espèce sont remplacées par des intégrales de deuxième espèce ayant 

 respectivement les points de rebroussement comme pôles du pre- 

 mier ordre. Quand la courbe sécante passe par des points doubles 

 ou de rebroussement, les relations qui contiennent les intégrales 

 correspondantes disparaissent. Enfin, si le degré de la courbe 

 sécante est inférieur ou égal à m — 3, les relations fournies par 

 le théorème d'Abel de la façon que nous venons d'indiquer ne sont 

 pas toutes distinctes. 



235. Dans les applications précédentes, nous avons cherché 

 les conditions nécessaires et suffisantes pour que ms points, pris 

 sur la courbe d'ordre m, appartiennent à une courbe quelconque 

 d'ordre s qui n'est assujettie à aucune condition. Le théorème 

 d'Abel se prête aussi à l'étude des groupes de points d'inter- 

 section d'une courbe donnée avec des courbes d'ordre s assu- 

 jetties à passer par des points fixes donnés pris en dehors de cette 

 courbe. 



Prenons, par exemple, une cubique plane sans point double et 

 coupons-la par des droites passant par un point fixe A non situé 

 sur la cubique. Une de ces droites coupe la courbe en trois 

 points Ml, Mo, M3 ; l'un de ces points étant choisi arbitrairement, 

 les deux autres sont déterminés : il y a donc deux relations dis- 

 tinctes entre les trois points analytiques M,, Mo, M3. Nous les 

 obtiendrons comme il suit : d'abord en appelant u l'intégrale de 

 première espèce attachée à la cubique, et u^^ 11.2-, U3 les valeurs de 

 cette intégrale aux points M, , Mo, M3, on a la relation déjà indiquée 



(34) Wi -r- U-2 -h W3 = P -i- /?ltO -T- /)l lii', 



