5l8 CHAPITRE XII. 



qui exprime que les trois points sont en ligne droite. Menons 

 ensuite par A une sécante déterminée ANiNgNg et appelons 

 v!5{x^y) l'intégrale de troisième espèce ayant pour points singu- 

 liers logarithmiques les points Ni, Ng. La somme t^i -h 7^2 + ^:$ 

 des trois valeurs de m aux points Mi , Mo, M3, où une droite variable 

 y = o, passant par A, coupe la courbe, est constante. En effet, soit 

 W= o une seconde droite, passant par A; la somme 7574 + ^2 + ^3 

 est la même pour les deux droites /= o et W= o, car, dans le fais- 

 ceau /+ [JiW = o, il j a une droite passant par les points critiques 

 logarithmiques de l'intégrale rn , à savoir la droite ANiNoN^ 

 (n" 185). On a donc une nouvelle relation 



(35) THi+THaH-nTgr^ Q -h Ci^TItH- mQ-^- 7?2'0', 



et ù' étant les périodes de ts correspondant aux mêmes coupures 

 que co et w' pour u. 



Voici un deuxième exemple. 



Soient une conique fixe F(^, y) = o et deux points fixes A et B 

 non situés sur la courbe. Une conique quelconque passant par A 

 et B coupe F = o en quatre points dont trois peuvent être choisis 

 arbitrairement; il y a donc une relation entre ces quatre points : 

 cette relation est fournie par le théorème d'Abel. Soient Ni et N2 les 

 deux points fixes où la droite AB coupe la conique ; formons l'inté- 

 grale de troisième espèce 7jj(^,j), relative à F (x, 7)= o, admettant 

 comme points singuliers logarithmiques les deux points Ni et N2. 



La somme 7774 + 7172+7153 + 757.4 des quatre valeurs que prend 757 

 aux quatre points d'intersection de F = o avec une conique /=:o 

 passant par les deux points A et B reste constante quand cette 

 conique varie. En effet, si l'on considère une deuxième conique 

 (L == o passant par les points A et B, la somme Ts^ + 7573 -h 7573 + 757/, 

 est la même pour les points d'intersection de F = o avec les 

 deux coniques /= o et ^ = o, car, dans le faisceau /+ \k^ = o, 

 il se trouve une conique passant par Ni et N2. Si l'on exprime 

 les cooordonnées d'un point de la conique F — o en fonction 

 rationnelle d'un paramètre ^, et si l'on appelle a et b les valeurs 

 de t correspondant aux points fixes IN, et No, on a 



t — a 



^ = L0g- -r' 



