APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5l9 



La relation entre les valeurs ^,, ^o, ^3, ^4 du paramètre t aux 

 quatre points d'intersection de F = o avec une conique variable 

 passant par A et B est donc de la forme 



I-OS 7^6 ^ Log^^ - Log^-— 5 + Log ^--^ = K -- an.,, 



OÙ K est une constante qui sera déterminée dès qu'on connaîtra 

 les points d'intersection de F = o avec une conique particulière 

 passant par A et B. 



Ainsi, coupons l'ellipse -^ + ^ — 1=0 par des cercles, c'est- 

 à-dire des coniques passant par les deux points circulaires à l'in- 

 fini A et B. On peut exprimer les coordonnées d'un point de 

 l'ellipse, en posant 



j ^2 2 ^ 



a7 = <2coso = a ) ^ = èsino = 6 



t = tang ^' 



La droite de l'infini AB coupe l'ellipse en deux points Ni et N2 

 correspondant aux valeurs ^ = y — i et t =r. — y — ^ i . L'intégrale 

 de troisième espèce avec ces deux points singuliers logarithmiques 

 est 



2 dt 



f. 



c'est-à-dire nsz^i'^. Soient alors cp, , cpo, 03, cp^ les valeurs de cp 

 correspondant à quatre points de l'ellipse situés sur un cercle; 

 comme la somme des valeurs de l'intégrale rn en ces quatre points 

 est constante, on a 



91-T- ^2-^ ?3-<- 94 = G -h 2 7i77, 



OÙ G est une constante et ii un entier. Le cercle homographique 

 de l'ellipse lui est bitangent aux deux sommets : pour ce cercle 

 particulier, on a 



La constante G est donc nulle et on a 



