APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GEOMETRIE, J2l 



évidemment remplacer dans l'énoncé la courbé /=o parla courbe 



/+).F=:0, 



où lest arbitraire, car celte courbe n'a aucun point commun avec 

 F = o à l'infini. 



Par exemple, on pourra vérifier le théorème pour l'hyperbole 



xy = I coupée par les coniques 



où P et Q sont des constantes déterminées non nulles, a, ^, y, 8 

 des constantes arbitraires. 



236. Voici un exemple des théorèmes relatifs aux angles. Soient 

 F(^, y) = o une courbe fixe d'ordre f?i et 8 l'angle que fait, avec 

 une direction fixe, O^r, la droite OM joignant un point arbitraire O 

 au point 1\I pris sur la courbe. Le point O étant choisi comme 



û r jf, X dy — y dx 



o 



X 



r 



ou encore, comme 



F^ dx -+- F y dy = o, 

 x¥;^—yF'y dx 



^= — 



■r' ^'y 



L'angle 9 est donc donné par une intégrale abélienne relative à 

 la relation algébrique F(;r, y) = o. Cette intégrale abélienne, étant 

 égale à 



arc tans: — = — . Lo< 



J' 



n'a d'autres singularités sur la surface de Riemann que des points 

 singuliers logarithmiques; elle n'a d'ailleurs qu'une période tt. 



D'après son expression sous forme finie, cette intégrale est finie 

 en tous les points de la courbe F := o, à distance finie ou infinie, 

 excepté aux points de rencontre de la courbe avec les droites iso- 

 tropes 



;r2-i-^2:^ O. 



Le théorème d'Abel, appliqué à l'intégrale Ô sous la forme du 

 A. ET G. 33. 



