APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 323 



courbe algébrique et à deux courbes liomofocales ont même orien- 

 tation (M. 



237. Terminons enfin par quelques exemples relatifs aux arcs. 

 Soit 



l'équation d'une courbe algébrique. L'arc a- de celte courbe est 

 défini par 



Gomme -^ est une fonction iri'ationnelle de x eV y^ rr est 



donné par une intégrale abélienne relative à une relation algé- 

 brique différente de ¥[œ^y) = o. Il y a exception pour les 

 courbes que Laguerre a appelées courbes de direction (-) et qui 

 sont caractérisées par cette propriété que \/^'^ 4- F'- puisse s'ex- 

 primer rationnellement en fonction des coordonuéees x et r d'un 

 point de la courbe. 



Supposons cette condition remplie 



/F7~F7=/(;r,r); 



alors or est une intégrale abélienne relative à la courbe elle-même 

 F = o. La courbe f(x, y) =i o est une courbe adjointe, car la 

 fonction y* s'annule en tous les points singuliers de F. 



En appliquant à l'intégrale o- le théorème d'Abel, on aura des 

 relations entre les longueurs des arcs de la courbe de direction 

 F = o comptés depuis un point fixe jusqu'aux points où cette 

 courbe est coupée par une courbe variable d'un degré déterminé. 

 Nous nous contenterons d'en indiquer un exemple élégant. 



La courbe du sixième ordre, qui a pour équation en coor- 

 données polaires 



r3= «3 cos3ô, 



est du genre un, comme étant la transformée par rayons vecteurs 



{') Laguerre, Comptes rendus, janyier i865. 

 (0 Comptes rendus, t. XCIV, 1882. 



