APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5'}.5 



K désignant une constante indépendante des coefficients de C« ( ' ). 

 l*ar exemple, un cercle passant par l'origine coupe la courbe con- 

 sidérée en douze points dont six à l'infini aux points cycliques, 

 trois à l'origine; il en reste donc trois variables seulement A, 

 B, C; les trois arcs OA, OB, OC comptés à partir de l'origine 

 dans un même sens de circulation sur la courbe ont donc une 

 somme constante quand le cercle varie, et cette constante est 

 nulle, car la somme s'annule évidemment avec le rayon du cercle. 

 On a donc en valeur absolue, en supposant que OA est le plus 



grand des arcs, 



arcOA = arcOB -f- arc OC. 



L'arc de cette courbe a déjà été étudié par M. IVf. Roberts 

 (Journal de Mathématiques, t. XII). 



238. Le théorème d'Abel appliqué aux courbes gauches coupées 

 par des surfaces algébriques permet également d'étudier Icî» 

 groupes de points sur ces courbes. Par exemple, une biquadra- 

 tique gauche sans point double effectif est du genre un. En appe- 

 lant u l'intégrale elliptique attachée à la courbe, on a, pour les 

 quatre points d'intersection de la courbe avec un plan, une rela- 

 tion de la forme 



(37) tti-t- «2 -4- «3-4- a^:^ G -i- /nw -I- /n'w', 



m et m' étant des entiers, w et w' les périodes de u. La théorie 

 de ces courbes est alors analogue à celle des cubiques sans point 

 singulier. 



Si Ton prend, sur la biquadratique, deux points variables M| et 

 INLj, assujettis à la condition 



ai -f- «2 = A -r- mw -r- rn'co', 



où A est une constante arbitraire, la droite M| M2 engendre une 

 quadrique passant par la courbe. D'après (3^), les génératrices de 



(•) HuMBERT, Journal de Matlœmatiques, '\* série, t. III, p. 394; i^^y- 



