186 EXAMPLES OF THE CHANGE 



For exercise we give the results arising from differentiating 

 equations (2) of the preceding investigation. 



d 2 u sin 2$ f . 2 a d z u cos 2 <ffu 1 d*u 



-, 

 l 

 sin 20 6?u sin 2 du cos 6 / . n . 1 



-f cos2<b\- 

 r \r 



r dr r* 

 1 d*u cot d*u 



f a 1 \ du\ 

 \ sin0) ~d0) 



r* 



sin 20 i(d* u l_cPu I du 



' COS (P K ^f o" ^^ O 7 Xo "" 7 ^ 



I dr T du r dr 

 cos 2^ cos < f c^t^ 1 du 

 ~T~ ' \d0dr~rde 

 . sin <f> f 1 cfw cos d?u ) 



r [r d0 d<J> sin dr d<f>) 



<f> . cos 20 cos d> sin 

 r ^+- - B+- 



r r 



_ sin 20 sin $ , cos 20 sin <> R cos 



sin 20 cos <f> , cos 2^ cos d> sin <f> ^, 

 = ^-A + - - B+ - C, say ; 



2 r r 



2 



_ J/J 

 ~ ' U 



cos*0 d z u sin 20 d*u cos*0 du 

 cos 0-sm a 7 -s H ^ -- TTjoH ----- : fTiH 



c?r 2 r 2 dV 2 r drd0 r dr 



sin 2<^> f d?u cot ^ C^M 1 du 



r \d<f>dr + r d0 d$ ~ r sin 2 d(j> 



sin 2 <f> ( 1 cZ 2 ^ du cot # 

 ~?^ jr sin 2 ~dfi + dr* ~T~ ~d0 

 sin 2<f> _ sin 



r r 



sin2<f> ,, cos 2 

 j- -- 



dif 



N, say ; 



