258 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



OA =x 



OB =x, 

 AB =Ax 



AP =v 

 BP, =:y, 

 QPi=Ay 

 PPi=: Sehne 



Xi — x = Ax 2) 



Vom zugehörigen y gelangen wir zu y,. so daß 



sein wird. Dann aber wird nach 1) und 2) 



Ay = (x + Ax)2 — x2 oder 



Ay = 2xAx + (Ax)2 3) 



Mit anderen Worten : dadurch, daß ich zu x Ax hinzufügte, hat sich y um 



2xAx + (Ax)2 geändert, d. h. vergrößert. Dies ist die totale Änderung 



unserer Funktion y = x2. 



Diese totale Änderung sagt mir aber noch zu wenig über das 



Kurvenbild aus. Erst dann vermag ich mir über den Grad der Änderung, 



Steigen oder Sinken, Klarheit zu verschaffen, wenn ich erfahre, welchem 



Zuwachs auf der x-Achse diese oder jene totale Änderung entspricht. Es 



ist leicht einzusehen : entspricht einem kleinen Zuwachs von x eine große 



totale Änderung der Funktion y, so wird die Kurve an jener Stelle steil, 



im entgegengesetzten Falle aber weniger steil verlaufen. Ist die totale 



Änderung = o , so muß die Kurve an der betreffenden Stelle mit der 



Ay 

 x- Achse parallel sein usw. Es kommt daher lediglich auf das -^ an, um 



die Art des Verlaufes beurteilen zu können. 



Ay _ yi— y 

 Ax ~ Xi — X ■ 



Die rechte Seite der Gleichung ist aber nichts anderes als der nun 

 schon bekannte Differenzenquotient (S. 256). In unserem speziellen 

 Falle ist 



1iz:L = 4l^2x + Ax. 



Xj — X Ax 



Eine kurze Überlegung muß uns zur Einsicht führen, daß dieser 

 Differenzenquotient gleichzeitig die mittlere Änderung der Kui've (d. h. 

 der Funktion) im Intervalle PjP bedeutet. Ferner erkennen wir, daß 



yi— y __^_2x + Ax-tga, 



Xi — X Ax 



d. h., daß die mittlere Änderung gleichzeitig der Ausdruck für die Tan- 

 gente jenes Winkels ist, welchen die Sehne PjP mit der x-Achse bildet. 



Diese mittlere Änderung -r^ wird über den wirklichen Verlauf der Kurve 

 ^ Ax 



um so weniger aussagen, je größer das KurvenstückiPPi ist. 



Wenn ich erfahre, daß der Schnellzug Berlin— Halle eine mittlere 



Geschwindigkeit (Geschw. = Ä-m/Zeit) von 80 km in der Stunde besitzt, so 



erhalte ich über den wirklichen genauen Verlauf der Fahrt nur ein ganz 



