Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 



259 



rohes Bild. Denn es ist klar, daß der Zug nicht auf der ganzen Strecke 

 mit der gleichen Geschwindigkeit, sondern daß er stellenweise ganz lang- 

 sam, dann wieder mit etwa 100 Ä:m fahren wird. Ich müßte mich also zu- 

 nächst für kleinere Zeitdistanzen, wie V2 Stunde, Vi Stunde, interessieren, 

 um ein etwas genaueres Bild zu gewinnen, aber selbst diese geringeren 

 Intervalle werden sich noch als viel zu groß herausstellen und ich werde 

 gezwungen sein, die mittlere Geschwindigkeit in der ersten, zweiten, dritten 

 Minute usw. zu ermitteln. Nun erst bin ich in der Lage, die Art und 

 Weise des Weiterkommens des Zuges zu beurteilen. Wenn wir aber ganz 

 streng verfahren, so wird selbst noch eine einzelne Minute ein viel zu 

 großes Zeitintervall vorstellen, und ich werde zur Sekunde Zuflucht nehmen 

 müssen, usw. 



Übertragen wir diesen Gedankengang auf unser obiges Beispiel, so 

 werden wir die Strecke PPi kleiner wählen müssen, um die mittlere Ände- 

 rung möglichst genau zu er- 



mittehi. Ich nehme also PPi', rig. so. 



dann, um noch korrekter vor- 

 zugehen, PPj" usw. Wo ist 

 hier die Grenze, d. h. wo, bei 

 welcher Größe von PPi wird 

 mich die Genauigkeit meiner 

 mittleren Änderung endlich 

 befriedigen ? Offenbar erst 

 dann, wenn PPj, d. h. auch Ax 

 unendlich klein werden. 



Die 00 kleine Größe. 

 Das Unendlichkleinwerden 

 einer Größe ist ein Bewegungsvorgang, bei welchem sie immer kleiner 

 und kleiner wird, kleiner wie jede noch so kleine angebbare Zahl. Die 

 Grenze, der diese Bewegung zustrebt, ist Null. Es liegt auf der Hand, 

 daß eine konstante Größe niemals 00 klein werden kann und daß diese 

 Eigenschaft einzig und allein einer veränderlichen Größe zukommt. 



In unserem Beispiel war 



Av 



-r^ = 2 X -1- Ax = tg a. 

 Ax 



Lassen wir Ax immer kleiner und kleiner, ja cxj klein werden und 



Av 



fragen wir nach dem Grenzwert (limes) der Beziehung-^: 



lim 



Ay 

 Ax 



=:2X. 



Ax — 



Mit anderen Worten, wenn Ax immer kleiner und kleiner wird und 

 sich Null nähert, so nähert sich die Beziehung -r^, in welcher Ay gleich- 



17* 



