Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 265 



schwach ist. Je stärker die Änderung ist, um so größer ist der numerische 

 Wert der Ableitung. 



Unsere nächste Aufgabe besteht darin, einen Überblick über die 

 ^sichtigsten Funktionen und ihre Eigenschaften zu gewinnen und für jede 

 derselben den Differentialquotienten, die Ableitung, zu bilden. 



II. KAPITEL. 



Systematische Übersicht über die Funktionen mit 

 einer Veränderlichen. 



1. Die algebraische Funktion. 



Die ganze rationale Funktion 1. Grades. Die allgemeine Form 

 einer solchen Funktion ist der uns bereits von S. 252 bekannte Ausdruck 



Y = ax + b. 

 In ihm wurde y aus x durch rationale Operationen (Grundoperationen) 

 gebildet. Die geometrische Veranschaulichung ergibt eine Gerade (Fig. 83), 

 daher ist die Funktion linear. Gleichzeitig bemerken wir, daß zu jedem 

 Wert von x ein und nur ein Wert von y gehört: die Funktion ist 

 somit eindeutig. 



y = ax + b vermag jeden Wert einmal anzunehmen, insbesondere auch 

 den Wert Null. Möge y den Wert an der Stelle Xj annehmen. Dann ist 



ax, + b = und x, = . 



a 



Eine lineare Funktion besitzt eine und nur eine solche 0- Stelle oder 

 Wurzel. Denn wäre noch eine zweite 0- Stelle x., vorhanden, dann mülJte 



axj + b = und 

 ax.^ + b =: 0, folglich 

 a(x.2 — Xj) = sein. 

 Das letztere ist nur dann möglich, wenn ein Faktor des Produktes 

 a(x2 — Xi) gleich Null ist und daher müßte a=:0 sein und da ax + b = 

 ist, müßte auch b gleich sein, so daß also die Funktion identisch ver- 

 schwindet. 



Eine lineare Funktion (Funktion ersten Grades) kann daher nur eine 

 einzige 0- Stelle oder Wurzel besitzen und diese ist 



Xi = — b/a. Daher ist b = — ax^, folglich 

 y = a(x — Xi). 

 Die Differenz (x — Xj) nennen wir den Linearfaktor der Funktion 

 und sehen, daß die Funktion gleich ist dem Produkte des höchsten 

 Koeffizientenii (a) mit dem Linearfaktor. 



M Unter dem „höchsten Koeffizienten" verstehen wir ileu Koeffizienten jenes x, 

 welches die höchste Potenz besitzt. 



