Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 267 



Die ganze rationale Funktion n-ten Grades aber 

 y = aoX" + aiX'^-^ + ajX'^-s + + a„_2x2 + a^-iX + an. 



Fragen wir nach den Eigenschaften einer solchen Funktion, die uns 

 ja schon zum Teil von der linearen und quadratischen Funktion her be- 

 kannt sind. 



Zunächst ist darauf hinzuweisen, daß y aus x gebildet wird durch 

 die ersten drei Spezies : Addition, Subtraktion und Multiplikation, d. h. mit x 

 wurden nur diese 3 Operationen unternommen. Der Ausdruck 



ist somit auch noch eine ganze rationale Funktion (zweiten Grades), wogegen 



y = — oder y — \/ x 



nicht mehr zu dieser Klasse gerechnet werden darf. 



Jede ganze rationale Funktion von x ist eindeutig und hat 

 so viel Wurzeln, als ihr Grad angibt; die Funktion n-ten Grades 



f(x) = yr=aoX''-f-ai x'^-i-f-a.x^-^-t- +an-iX-(-a„ 



besitzt somit n -Wurzeln. Ist x^ eine Wurzel, so ist 



f(xi) = yi=aoXi° + aiXi°"i + + an_iXi + an = 0. 



Es wäre leicht zu beweisen, daß, wenn eine ganze rationale Funktion 

 mehr Wurzeln hätte, als ihr Grad angibt, ihre Koeffizienten einzeln = 

 sein müßten. Den Beweis für die lineare Funktion haben wir übrigens 

 oben erbracht. 



Wenn x^ eine Wurzel einer ganzen rationalen Funktion f(x) ist, so 

 ist diese Funktion durch (x — Xj), den Linearfaktor (s. oben), teilbar. D. h. 



(^^l) =fi(x), oder i{x) = (x—x,)i,{x). 



Umgekehrt: wenn eine ganze Funktion durch den Linearfaktor (x — Xj) 

 teilbar ist, so ist x^ eine Wurzel der Funktion. Denn: 



f (x) =: ao x° -f ai x°-i . . . + + a„_ix -{- a„ 



f (xi) = apXi" -f aiX,°-^ ... 4- + an-iXi -|- an = 0. 



Durch Subtraktion des unteren Ausdrucks vom oberen erhalten wir 



f(x) = ao(x°— Xi^)+ajfx°-i — Xi''-i) + +an_i(x— x^) 1) 



Die Klammerausdrücke 



x"" — Xi"" 



lassen sich aber durch (x — xj dividieren: 



X'— Xi-- = (x— X, ) fx--! 4- x^-2 _ x^ ^ x^-3 . Xi 2 + + X . X/-2 + X, ^-^). 



