268 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Führen wir diese Division mit jeder einzelnen Differenx x'' — Xj'" unserer 

 Gleichung 1) aus, so gelangen wir zu f'i (x), einer Funktion (n — l)-ten 

 Grades, so daß der Satz 



f(x;)=:(x — xOfi(x) 



bewiesen ist. 



Allein , da f^ (x) wiederum eine ganze rationale Funktion ist , so 

 wird sie mindestens eine Wurzel x., besitzen und es läßt sich abermals 

 analog zeigen, daß dann 



fj(x)=:(x — X2).f2(x), ferner ebenso, daß 



t (x) = (x— Xg) . £3 (x), daß 



f (^_2) (X) = (X — X„_i) f (a-i) (X) 



f(n_i)(x) = (x — Xn) fn, WO abcr fn = ao, d.h. bereits eine 

 Funktion 0-ten Grades ist. 



Wir gelangen somit zum Ausdruck: 



f (x)=:ao (x— xj (x— X2) (X— X3) (X— Xn_i) (x— Xn) .... 2) 



D. h.: die Funktion f (x) = dem Produkte des höchsten Koeffi- 

 zienten ao mit n Linearfaktoren, entsprechend der Zahl der 

 vorhandenen Wurzeln, nämlich n. 



Mit dieser Gleichung aber ist die Funktion f (x) noch nicht bestimmt, 

 da unendlich viele Funktionen n-ten Grades mit so vielen 0-Stellen (Wurzeln) 

 existieren. Erst wenn ich ao bestimme, wird f(x) eine bestimmte Funk- 

 tion sein, von w^elcher es nur einzige gibt. Zu diesem Zwecke genügt 

 es, wenn ich einem x einen bestimmten Wert erteile und z.B. sage; 

 x = Xo und daher f(xo) = yo. 



Nunmehr ist f (x) bestimmt, denn : 



f (xo.) = yo = ao (Xo— Xi) (xo— X2) (Xo— Xn-i) (Xo — x„); 



1 



folglich ao = y, 



(Xo— Xi) (Xo— X.,) (Xo— Xn_i) fXo— X„) 



Wir sehen, daß nur eine solche Zahl ao existiert, da sowohl im 

 Zähler des Bruches als auch in dessen Nenner ausschheßlich feste kon- 

 stante Werte vorkommen. Aus 2) folgt: 



(X — XQ (X — Xo) (X — Xn-l) (x — Xn) ^. 



" '(Xo— X,j(Xo— X2J (Xo— Xn_i)(Xo — Xn) 



Die n Wurzeln x^, Xg, X3 Xn-i, Xn stellen somit n Bedingungen und 



x = Xo (d.h. yr=yo) die (n4- l)-te Bedingung vor. Erst diese n -|- 1 Bedin- 

 gungen bestimmen eine ganze rationale Funktion n-ten Grades. 



