Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 



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Die Interpolationsformel von Lagrange. 



Es sei folgende Funktion angenommen, die aus rein zweckmäßigen 

 und äußerlichen Gründen n — 1-ten Grades ist: 



y =: f (x) = aoX"-i + aiX"-2 + a,x°-3 + _(. a„_j. 



Zur eindeutigen Bestimmung einer solchen Funktion dürfen wir 

 n Bedingungen stellen (d. h. eine mehr, als der Grad angibt). Wir wollen 

 diese n Bedingungen in folgender Tabelle festlegen : 



für X 



Xn 



nehme v den Wert an 



1 ^0^1 



2 — - ^0^2 



4- aiXi^-2 4- + a^.i 



+ aiXo''-- + + a„_i 



Jn aoXn" + a^Xn" " -|- + an— I 



bekannte Größen, unbe- 

 Da jedoch n Gleichungen 



Fig. 97. 



In diesen Gleichungen sind Xj. Xg, Xn 



kannt sind nur die Koeffizienten ao, aj, an— i. 



mit n Unbekannten, die alle nur in 

 der ersten Potenz vorkommen, vor- 

 liegen, so haben wir ein lineares 

 Gleichungssystem mit n Unbe- 

 kannten, die wir uns algebraisch 

 berechnen müßten. Geometrisch 

 können wir die Funktion als eine 

 Kurve, z. B. eine Parabel n — 1-ster 

 Ordnung, vorstellen, die durch n 

 Punkte bestimmt ist: 



In der Mehrzahl der Fälle, insbesondere wenn n sehr groß ist, ist die 

 praktische Ermittlung von diesen n Koeffizienten eine recht mühsame 

 Arbeit. Ein bequemerer Weg ist der folgende, der uns darüber Rechen- 

 schaft geben kann, ob eine empirisch gefundene Kurve einer ganzen 

 Funktion entspricht oder nicht. 



Wir konstruieren uns eine Funktion fj (x), die für x^ den Wert y^ 

 annimmt, für alle anderen x-Werte aber, wie x^, Xg . . . . Xn, ..verschwindet", 

 d. h. wird: 



(X — XjllX — Xj). . . . (x — Xn) 



f,(x) = 



(Xi — XäjlXi— Xj) (Xi— Xn) *"'■ 



Wir wissen, daß diese Funktion fifx), die im Zähler n — 1 Linear- 

 faktoren enthält, der Formel 3 ) nachgebildet ist, somit den oben gemachten 

 Anforderungen entspricht. Analogerweise wird 



(x— Xi)(x— Xj) (x— Xn) 



f,(x): 



(Xj — Xi)(Xj — Xj) .... (x.,— Xn) 



y2 



