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Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 271 



ermittelt haben, und berechnen y. Finden wir nun, daß der gefundene 

 -Wert von ji mit dem berechneten Wert übereinstimmt, so folgt unsere 

 Kurve in der Tat der ganzen Funktion IL Grades y = ax- -f bx + c. Jetzt 

 wird die Formel auch für y^ und yg stimmen. 



Ist es hingegen nicht der Fall, so greifen wir 4 Daten aus unserem 

 Versuch heraus und prüfen auf analogem Wege, ob unsere Kurve y = ax^ + 

 + bx2 + ex + d gehorcht usw. 



Die allgemeine rationale Funktion. 



Bei der ganzen rationalen Funktion konstruierten wir y aus x unter 

 Anwendung der Addition, Subtraktion und Multiplikation. Nun wollen wir 

 auch die vierte Grundoperation, die Division, heranziehen, z. B. 



1 6 + 1- 



f(x)=r3x— ^ + -^ + -.... 



Wir gelangen somit zu Brüchen von mehr oder weniger komplizierter 

 Form, und es ergibt sich die Frage, in welcher Weise wir eine solche all- 

 gemeine rationale Funktion des Näheren untersuchen. 



Zunächst werden wir in solchen Fällen wie die letzte Gleichung den 

 Ausdruck ordnen und einen Generalnenner suchen. Auf diesem Wege 

 kann ich jeden Ausdruck auf die folgende allgemeine Form bringen: 



aoX'' + a,x'— ^ + aoX'— - + + ar f fx) 



boX« + biX^-i + boX«-- + .... + bs g (x) ■ 



Wir erhalten somit einen Bruch, dessen Zähler eine Funktion f(x) 

 und dessen Nenner eine Funktion g(x) ist. 



Zunächst müssen wir prüfen, ob der so entstandene Bruch wirkUch 



ein Bruch ist oder nur einen solchen vortäuscht. Dieser FaU trifft zu, 



2(x 1) 



wenn der Nenner im Zähler restlos enthalten ist, z. B.: -r — tt- =^ oder 



(x— 1) 



—^ — rr-^ = ax. In diesem Falle erhalten wir eine ganze rationale Funktion, 



(x— ö) 



die wir schon oben kennen gelernt haben. Dieser Fall sei somit hier aus- 

 geschlossen und wir nehmen an, daß ein wirklicher Bruch vorliegt. Aber 

 selbst in diesem Falle lassen sich oft bedeutende Vereinfachungen herbei- 

 führen. Es können z. B. Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler be- 

 sitzen : der Bruch ist reduzibel, z. B. 



f(x) = f,(x).h(x) ^^^ f(xj _ f,(x).h(x) ^i;(x) 

 g(x) = gi(x).h(x) g(x) gi(x).h(x) gi(x)' 



h(x) war in diesem Falle der größte gemeinsame Teiler, den wir im 

 gegebenen Falle nach den gewöhnlichen algebraischen Methoden (Methode 

 des Algorithmus von Euklid) auffinden können. 



