Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 273 



und es sei, da die beiden Brüche echt sind, 



r < s und ri «< Si . — 



Der Grad des Zählers im Summenbruch wird (r + Sj) und (r^ + s), 

 des Nenners aber (s + Sjj (denn x^ . x^ = x^ + ''). Da (r -\- Sj) < (s + sj, also 

 auch (r^ + sj «< (s + Sj j, ist obige Behauptung bewiesen. 



Ein unechter Funktionsbruch kann stets in die Summe 

 einer ganzen Funktion und eines echten Bruches zerlegt werden. 

 Dies geschieht durch einfache algebraische Division, z. B.: 



3xs— x2 + 2x— 5 ., , — 7x — 2 



= 3x — 1 + 



x2 + 3 x2 + 3 



(eine ganze Funktion) (eine echt gebrochene 

 (eine unecht gebrochene rationale Funktion) Funktion). 



Wir ziehen die Schlußfolgerung: Durch geeignete algebraische 

 Operationen vermögen wir jede gebrochene rationale Funktion 

 so zu vereinfachen, daß schließlich höchstens die algebraische 

 Summe einer ganzen Funktion und einer echt gebrochenen 

 Funktion zurückbleibt. 



Unsere Aufgabe reduziert sich demzufolge auf Methoden, die zur Ver- 

 einfachung kompliziert gebauter echt gebrochener irreduzibler Funk- 

 tionen geeignet sind. 



Zerlegung in Partialbrüche. 



Diese Methode ist durch die Zerlegung eines echten Funktionsbruches 



f(x) 

 in Partialbrüche gegeben. Es sei der Bruch . ' angenommen, m 



welchem der Nenner n-ten, der Zähler hingegen höchstens n — 1-ten Grades 

 ist. Die n Wurzeln sind voneinander alle verschieden. 



Dann ist g(x)=:bo(x — x^) (x — x.j) (x — x^). 



bo kann ich entfernen , indem ich es in den Zähler f (x) bringe und 



dort von jedem Koeffizienten den bo-ten Teil nehme [-r^, -r^, ....-r-^J. 



Dann bleibt: 



g (x) = (x— Xj) (x— X2) .... (x — x„). 



f(x) 



läßt sich als eine Summe von n ganz einfachen Brüchen 



g(x) 

 — Partialbrüchen — darstellen: 



Abderhalden, Handbuch der biochemischen Arbeitsmethoden. IX. 13 



