Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 277 



Die Koeffizienten der dritten Potenz: 



a — 3b-f-d — 3e = 0, folglich für a = — 2, femer b = — e : 

 — 2 + 3e + d — 3e = und d = 2. 



Die Koeffizienten der ersten Potenz : 4 a — 2 b = 1 usw. 



Der Ausdruck 



3x + 2 x2— 3x + 2 



+ -7— TT + . . ..o + 



(x2_i)i (x_i)2(x+i)2 (X— 1)2 (x— Ij (x+l)2 (x+1; 

 ^i~"~M usw. 



Xj = 1 J 



Weitere Beispiele findet man in der Integralrechnung, wo die 

 Zerlegung in Partialbrüche eine fundamentale Methode bedeutet. Hier 

 wurde sie nur dem Zusammenhange mit der Funktionslehre zuliebe be- 

 handelt. 



f(x) 

 Wir haben bisher y = \ \ gebildet, indem wir mit x die 4 Grund- 



g(x) 



Operationen vorgenommen haben, y war stets eine explizite Form von x. 

 Die implizite Form wäre: 



y . g (x) — f (x) = oder allgemeiner y . fo (x) + f^ (x) = 0. 



Wir sehen, daß in dieser Gleichung y als Wurzel einer linearen 

 Funktion auftritt, in welcher fo(x) und fi(x) ganze rationale Funktionen 

 von X, die Rolle der Koeffizienten (ao, a^ . . . .) übernommen haben. 



Wir können also behaupten : Tritt y in der impliziten Gleichung als 

 Wurzel einer Unearen Funktion auf, so ist y eine rationale Funktion von x. 



In der Gleichung 



y^fo(xj + yfi(x) + f2(x) = 0, 



die in bezug auf y quadratisch ist und in der fo (x), f^ (x) und fg (x) wiederum 

 ganze rationale Funktionen von x sind, können wir eine neue Art von 

 Funktion erbhcken; zu jedem Wert von x gehören 2 Werte von y: die 

 Funktion ist nicht mehr eindeutig. Wir wissen, daß 



- f, (xj ± l/(f,fx))2-4fo(x)f2fx) 

 ^ 2fo(x) 



Mit anderen Worten: Wir bilden y aus x nicht mehr mit Hilfe der 

 4 Grundoperationen allein , sondern zu diesen tritt noch das Radizieren 

 (Wurzelziehen) hinzu, y ist eine irrationale Funktion von x. 



Die allgemeine Form einer solchen Funktion ist folglich: 



y° fo (x) + y°-^ f, (x) + y°-2fo (x) +....+ y . fn-i (x ) -f f n (x) = 0, 



wo fo, fi, f 2 . . . . f n ganze rationale Funktionen von x sind, und wo 

 n = l, 2, 3, 4 . . . . — Diese Gleichung ist aber gleichzeitig die allgemeine 



