Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 309 



In Worten ausgedrückt lautet die Frage so: Welchem Werte strebt 

 der Ausdruck [1 H J zu, wenn n stets größere und größere Werte an- 

 nimmt, ja sogar co groß wird? 



lim [l + —]°=e = 2-718 281 828459045 1) 



n = CO ^ 



Der Grenzwert dieses Ausdruckes für n = ± oo ist eine irrationale 

 Zahl, die wir mit e bezeichnen und die als die Basis der natürlichen 

 Logarithmen verwendet wird. 



6; lim (1 + a)^ = e la) 



am 



Dies ist klar, denn ich kann statt — = n einsetzen, wo n= oo, wenn 



y. 



a = wird, und ich reduziere den Ausdruck auf die sub a) besprochene Form 



lim f 1 H J = e. 



logbQ + a) ,11 ^. 



c) hm ^ =logbe=:, r- = -r-r 2) 



y — Q y- logeb Inb 



Den Logarithmus der Basis e wollen wir in Zukunft mit In, d. h. 

 logar. naturalis, bezeichnen. 



Beweis: i^^^ii±^ .^ log, (1 + a)^, 



1, 3) 



4) 



Beweis: Es sei b™ — l = y. (wird a = 0, so wird auch ra = 0); 

 dann ist b™ = y. + 1 



und m = logb(l + y.). 



logb(l +a) m A •* • ^ n 



^ = -j -. Da 7. und m mitemander 



X b™ — 1 



werden, ist 



logb(l + a) ,. m , , ,. ,. , 



hm = lim V r und da die linke 



a = ^ m^ob'"-! 



