Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 313 



Dementsprechend ist 



da^ = a^ . In a . dx, 



Ist die Basis a = e, so lautet die Funktion 



dy de^ ^ „ , 



und -r- = -f— = e^ . 1 = e^ 7 a) 



dx dx ^ 



Differentialquotient der Funktion y=:logaX. 

 (Logarithmische Funktion.) 



Ist y = logaX, so ist 



y + Ay = loga (x + Ax) und Ay = loga (x + Ax) — loga x = 

 x + Ax , r Ax 



= l0ga -10ga[ 1 + — 



Der Differenzenquotient lautet daher 



—r- = 1 . Ersetzen wir durch x, 



Ax Ax x 



indem Ax .^ . , ,. • 



— = a, somit Ax = -/x, so erhalten wir : 



Ay logad + a) 1 . . .,\ A n A r^ 



-7-^ — — . — ; wir wissen aber aus 2), daß der Grenz- 



Ax a X ^ 



wert des ersten Faktors aus diesem Produkte =:Iogae, folglich ist 



dy dlogaX 1 



dlogaX= -^logaC . dx. 



Bilden wir die Ableitung des natürlichen Logarithmus: 

 y=:lnx. Es ist klar, daß 



dy 1 dlnx 1 



8a) 



yxA -v vi.v ^v 



und dlnx = 



dx X ' dx X 



iL 



X 



Weil der natürliche Logarithmus diese einfache Ableitung besitzt, 

 hat er seinen Namen erhalten. Gleichzeitig wird der Grund klar, weshalb 

 man gerade die Zahl e als Basis wählt. 



Differentialquotienten der trigonometrischen Funktionen 

 y = sinx und y = cosx. 



y = sin X ; 



y + Ay = sin (x + Ax), Ay =r sin (\ + Ax) — sin x. 



