Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 317 



Ay = f (x + Ax) . g(x + Axj — f (x) . g(x) + f (x) . g(x + Ax) — f(x) . g(x + Ax), 

 oder reduziert: 



Ay=[f(x + Axj — f(x)].g(x + Ax)+f(x)[gx + Axj — g(x)] 



A^ ^ f(x + Ax)-f(xj ^^^^^ ^^^ ^ g(i±^^W . f (X). 

 Ax Ax ijX 



1"» 4^ = -^=fXx).g(x) + gXx).£(x). 

 Ax^O"^^ dx 



Es ist somit der Differentialquotient eines Produktes: 



-^ffxj.g(x) = f(x).g(x) + gXxjf(x) 14) 



Gebrauchen wir der Kürze halber statt des Zeichens -5— das Zeichen 



dx 



D und setzen wir 



f(x) = u, 



g(x) = v. So wird 



-r-f(x).g(x)=:D(u.v) — vDu + uDv .... 14a) 



Beispiele: 



dv 

 y = 3x.lnx; -v^ = 31nx + 3 = o(lnx + 1) (nach 6, 8a und 14a), 

 •^ dx 



dy 

 y=:sinx . cosx; -7=^ =cos2x — sin2x = cos2x (nach 9, 10 und 14a) 

 •' dx 



dv 



y = (5 x3 + 3 x2) . a^ ; -j^ = a^(15 x2 + 6 x) + (5 x3 + 3 x'-) a" . In a 



= a^[(15x2 + 6x) + lna(5x3 + 3x2)] (nach 6, 7, 13 und 14a). 



Differentialquotient eines Quotienten. 



Gegeben ist 



_ f(x) 



^~g(x)' 



f(x + Ax) 



V + Ay = —j T— f -und 



•' ^ ^ g(x + Ax) 



f(x+Ax) f(x) ^. . , ^ ^ 

 Ay = —. —(- ^. Eingerichtet : 



^ g(x + Ax) g(xj 



g(x)f(x+Ax) — f(x).g(x + Ax) 



g(x).g(x + Axj 



Addieren und subtrahieren wir gleichzeitig im Zähler f (x) g (x) : 



^ g(x).g(x + Ax) 



g(x)[f(x + Ax)-f(x)]-f(x)[g(x+Ax)-g(x)] . 



Ayr= 1 ^ — J_ =!• bilden wir jetzt 



^ g(x).g(x + Ax) ' •• 



