320 Egon Eich^yald und Andor Fodor. 



Differenzierung einer Funktion durch Einführung neuer 

 Variabein (Funktion einer Funktion). 



Nach den oben dargestellten Methoden sind wir in der Lage, Aus- 

 drücke, wie eine Summe, ein Produkt oder einen Quotienten zu differen- 

 zieren, sofern jeder Summand der Summe, jeder Faktor des Produktes 

 Divisor, sowie Dividend des Quotienten an Hand der gegebenen Gleichungen 

 nach X differenzierbar sind. 



Ein neues Problem taucht für uns hingegen auf, sobald wir die Auf- 

 gabe erhalten, beispielsweise folgende Differenzierung auszuführen: 



. dsin(x + 3) 

 y = sin(x + 3). ^ '- = ? 



Wir sind nicht in der Lage, diesen Ausdruck ohne weiteres nach x 

 zu differenzieren , wohl aber nach (x + 3). Damit aber führen wir diese 

 Aufgabe auf folgendes Problem zurück: 



y = f(u), u = g(x), folglich y = f(g(x)). 



In Worten ausgedrückt : y ist eine Funktion der Größe u, diese 

 jedoch ihrerseits von x. also ist y die Funktion einer Funktion von x. 

 Im gewählten Beispiel ist 



y = sin (x -t- 3) 

 (x + 3) = u, somit ist 

 y = sin u, wo u = X -I- 3. 



Die allgemeine Lösung dieser Aufgabe ist folgende: 



J^ = il ^ 22) 



dx du dx 



In unserer Aufgabe ist 

 dv d sin u 



du du 



du d (x + 3 ; 



= cos u 



1, folghch ist 



dx dx 



dv 



-r^ =1 1 . COS U =: cos (3 -t- X). 



dx 



Weitere Beispiele: 



y = e-^ Auch diese Differenzierung ist für uns neu, denn wir können 

 auf Grund der gehörten Regeln bloß y = e^ differenzieren (7a), d. h. den 

 Differentialquotienten der Exponentialfunktion nach + x bilden. Hier aber 

 müßten wir nach — x differenzieren. 



