Mathematische Behaiulhuig biologischer Probleme. 327 



Wir differenzieren y zunächst nach u und betrachten v als konstant, 

 dann umgekehrt. Folghch ist 



dy _ öy du 3y dv 



dx ~ 3u ' dx av ' dx ' 

 dy _ 1 1 1 1 _ '^ 



dx~l+x''* 1— x*^ ''"1 +x^l— x~ i— x-^' 



Weitere Verallgemeinerung;. 



F(9(x), <I/fx))=:0. Ein Beispiel für diesen Fall und dessen Behand- 

 lung findet sich bei der Diskussion der Parabelgleichung S. 332. 



Bildung der höheren Differentialquotienten. 



Die Ableitung einer Funktion f(X), d.h. f'(x), ist wiederum eine 

 Funktion von x, für welche alle jene Betrachtungen Geltung besitzen, die 

 wir über die Funktionen im allgemeinen angestellt haben. Insbesondere 

 wird die Ableitung wieder eine Ableitung besitzen müssen. Man bezeichnet 

 diese mit f"(xj. Aber auch diese wird wieder eine neue Funktion von x 

 sein, und wir werden f" ( x) bilden können, usw. Mit Ausnahme der ganzen 

 Funktion n^**"" Grades, die eine endliche (und zw^ar n) Anzahl von Ab- 

 leitungen besitzt, kommt den Funktionen eine unendliche Zahl von Ab- 

 leitungen zu. Bei den ersteren, d. h. 



f(x) = y = aoX°-faj x'^-i + a„_i x + an, ' 



ist die erste Ableitung f'(x) = y':n — 1**"" Grades, die n^'^ dagegen 

 nullten Grades in bezug auf x, d. h. eine Konstante, denn 



dv 



f (x) — — ^ = naoX°-i + (n — l)aiX°--+ +Sin-i 



d-v 

 f"(x) = -^ = (n — l).n.aoX"-- -f- + an_2 



^^"-^Hx) = -^^ = n(n-l) 3.2.aoX 



. d°v 



f (°)(x) = -r— f = n (n — 1) 3 . 2 . 1 . ao (eine Konstante). 



Als Beispiel für eine Funktion anderer Art wählen wir y = a^ ; es ist 



dv 



— ^ = a^ln 

 dx 



d^v 



-5-4- = a'^ In . In (da In = Konstante. S. N. 12) 



dx2 -' 



d3 V 



-r^=:a^(ln)3 

 dx» ■ ' 



d° V 

 ^ = a"(lnj.. 



