Mathematische Behandhmg biologischer Probleme. 



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die erste Ableitung lautet 



= 1 + [tg2 X und 



cos'^x 



y^' = 2 tg- X (1 + tg2 xj = 2 y ( 1 + tg^ x). 



Folglich besitzt y' stets das gleiche Vorzeichen wie y, weshalb auch 

 die Tangentenkurve sowohl über als unter der Abszisse konvex verläuft. 



Weitere Angaben über die Beurteilung von Funktionen siehe S. 351 

 unter Maxiraum- und Minimurarechnung. 



Der Mittelwertsatz. 

 Auf S. 304 wurde die Stetigkeit und Unstetigkeit einer Funktion 



(Kurve) definiert. Wir sahen, daß die Tangentenlinie bei x 



2 



unstetig 



Es kann nun eine Kurve f(x)stetig 



Fig. 130. 



ist und von + oc auf — cx) springt, 

 verlaufen, d. h. in einem bestimmten 

 Intervall keinen Wert überspringen und 

 ihre Tangente, d. h. f (x), das gleiche 

 Verhalten aufweisen. Letzteres muß 

 aber nicht immer zutreffen. Fig. 130 

 zeigt uns eine zwar stetige Kurve, die 

 jedoch in P einen Knick besitzt, wo- 

 durch ihre Tangente, somit ihre Ab- 

 leitung f ' (x), unstetig wird : sie über- 

 springt im Punkte P plötzlich eine 

 Anzahl von Werten. 



Wir wollen bei unseren neueren Betrachtungen eine Funktion 



>3 = f(;) 



annehmen, die zwischen zwei festen Punkten f(a)=rO und f(x)=:0 stetig 



ist und deren Tangente 



gleichfalls — innerhalb Fig.isi. 



des gleichen Intervalles 



— stetig ist. 



Tangente in ff;). 



Die Ableitung die- 

 ser Funktion ist f CQ. 

 Wenn die oben ge- 

 machten Bedingungen 

 erfüllt werden, so muß 



f (^) zwischen f fa)=:0 und f (x) = mindestens einmal verschwinden, 

 d. h. werden, oder, mit anderen Worten, die Tangente muß an irgend 

 einer Stelle mit der ^-Achse parallel, d. h. horizontal werden, f (c) besitzt 

 zwischen a und x notwendigerweise eine — mindestens eine — Wurzel. 



rf(p 



fH-o 



