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Egon Eichwald und Andor Fodor. 



(Tangente) 



Verallgemeinern wir diesen Satz und betrachten wir den Fall, in 

 welchem die Kurve und ihre Tangente irgendwo in der Koordinatenebene 

 stetig verlaufen (Fig. 1H2); es muß in diesem Falle zwischen f (a) und f(xj 



(zwei feste Punkte!) einen 

 i'i?i32. Wert f(E) geben, bei welchem 



die Tangente mit der Sehne 

 Pi Pj parallel ist: 

 pTK // T. 

 Da die Sehne ausge- 

 drückt werden kann durch 

 den Differenzenquotienten (s. 

 S. 258), so muß bei Parallelität: 

 f(x) — f(a) 

 X — a 

 (Sehne) 



wo E zwischen a und x liegt. 

 Wir können nämlich ohne weiteres folgende Funktion von i kon- 

 struieren : 



g(^) = f (O(x-a) -f f fx)(a-^) -f f (a)(?-x). 



Nimmt in dieser Funktion E den Wert a an, so ist 



g(a) = 0. 

 Nimmt i den Wert x an. so ist 



giv = o. 



Es gibt somit zwei Punkte, wo die Funktion verschwindet. Dann 

 aber muß nach dem oben Gesagten die Ableitung g (E) an einer Stelle 

 verschwinden, so daß also 



g(c) = 0. 



Bilden wir die Ableitung von g(E). Diese ist: 



g(e)==r(E)(x-a)-f(x)-ff(a) 



(x und a sind nach unserer Annahme konstante, feste Werte!) Folglich 

 ist, wenn g' (E) = 0, 



f (^)(x — a) = f(x) — f(a), oder 

 _f(x)-f(a) 



f 



, wo ; zwischen a und x hegt, 



x — a 

 womit unser Satz, den man Mittel wer tsatz nennt, bewiesen ist. 



2. Der Taylorsche Satz und die unendlichen Reihen. 



Jede endliche Größe läßt sich in Form einer Reihe darstellen. Nehmen 

 wir beispielsweise die Zahl 2; wir dürfen folgende Reihe bilden: 



c. , 1 1 1 1 1 



2=:1H 1 h- 1 \ h 



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